C1. Suites et relations
Contenus d’apprentissage
Suites
C1.1
reconnaître et décrire une variété de suites non numériques, y compris des suites trouvées dans la vie quotidienne.
- Suites non numériques et régularités trouvées dans la vie quotidienne
- Nature : carapaces de tortue, fossiles, section transversale du tronc d’un arbre
- Design textile : papier peint, courtepointe, vêtements, imprimés de cire d’Ankara
- Art et artisanat : perlage, tissage, motifs imprimés
- Structures : ponts, pyramides
- Codes : code Morse
- Pratiques culturelles : henné (motifs mehndi), kolam, nœuds celtiques, motifs géométriques islamiques, coutures hitomezashi
- On retrouve dans la vie quotidienne toutes sortes de suites, dont beaucoup sont fondées sur la régularité d’un attribut.
- La régularité des attributs peut inclure la couleur, la forme, la texture, l’épaisseur, l’orientation ou les matériaux.
Remarque(s) :
- Les élèves peuvent entreprendre l’apprentissage des mathématiques, des suites et des régularités en explorant divers contextes et composantes culturels.
Demandez aux élèves de rassembler des photos ou des dessins illustrant des suites non numériques et des régularités trouvées dans la vie quotidienne, y compris celles qui sont pertinentes pour eux, puis d’en faire une murale dans la salle de classe. Invitez-les à écrire leurs observations à propos des suites, par exemple la répétition des formes ou des changements dans la grandeur d’une forme. Si les élèves utilisent leur journal d’apprentissage de la 1re année, elles et ils peuvent y ajouter de nouvelles suites.
Fournissez des activités d’apprentissage interdisciplinaires ciblant l’exploration de motifs géométriques issus de différentes cultures. Il est également possible de profiter de l’occasion pour discuter tout en respectant les représentations des histoires et des identités culturelles. (Voir les exemples)
C1.2
créer des suites à l’aide d’une variété de représentations, y compris des nombres et des formes géométriques, et établir des liens entre les différentes représentations.
- Créer des suites
- avec des matériaux de différentes textures, tailles, formes et couleurs
- avec du papier isométrique ou quadrillé, des grilles et des anneaux
- avec du matériel de manipulation (p. ex., mosaïques géométriques, carreaux)
- Représenter une suite de sons à l’aide de nombres
- Suite de sons : tape, sifflement, sifflement, tape, sifflement, sifflement, sifflement, tape, sifflement, sifflement, sifflement, sifflement…
- La même suite de sons représentée à l’aide de nombres :
1 [tape], 2 [sifflements], 1 [tape], 3 [sifflements], 1 [tape], 4 [sifflements]...
- La même suite de sons représentée à l’aide de nombres :
- Suite de sons : tape, sifflement, sifflement, tape, sifflement, sifflement, sifflement, tape, sifflement, sifflement, sifflement, sifflement…
- Représenter une suite de mots à l’aide de nombres
- Suite de mots : bleu, orange, orange, bleu, orange, orange, orange, bleu, orange, orange, orange, orange
- La même suite de mots représentés à l’aide de mouvements :
1 pas à droite [bleu], 2 pas à gauche [orange], 1 pas à droite [bleu], 3 pas à gauche [orange], 1 pas à droite [bleu], 4 pas à gauche [orange]
- La même suite de mots représentés à l’aide de mouvements :
- Suite de mots : bleu, orange, orange, bleu, orange, orange, orange, bleu, orange, orange, orange, orange
- Représenter une suite numérique à l’aide de figures géométriques (suites non numériques), par exemple 5, 10, 15, 20…
- Exemple 1
- Chaque groupe de 5 est constitué de 4 carrés et de 1 triangle :
- Exemple 1
- Exemple 2
- La suite commence avec 5 cercles et 5 autres sont ajoutés chaque fois :
- La structure d’une suite peut être représentée de différentes façons.
- L’analyse de la relation entre le rang (ou le numéro de la figure) et le nombre d’éléments dans le terme (ou la valeur du terme) permet de généraliser la structure de la suite.
- Les suites et les régularités peuvent être créées en modifiant un ou plusieurs attributs.
Remarque(s) :
- La comparaison et l’utilisation de différentes représentations pour communiquer sa compréhension sont des composantes essentielles au développement de la pensée algébrique.
Présentez aux élèves une suite de sons ou de mouvements, puis demandez-leur de représenter cette suite à l’aide de nombres et de formes.
Demandez aux élèves de créer une suite non numérique pour représenter la quantité lorsqu’elles et ils comptent par bonds. Les élèves peuvent utiliser une répétition de figures pour chaque bond ou utiliser la même forme et montrer que la quantité croît à chaque rang.
Par exemple, on peut compter par bonds de 5 :
- Chaque triangle indique un bond de 5 :
- Invitez les élèves à répondre à des questions telles que : « combien de triangles aurais-tu si la suite allait jusqu’à 30? »
- Chaque colonne supplémentaire indique un bond de 5 :
- Invitez les élèves à prolonger la suite jusqu’au 5e rang. Puis posez la question suivante : « Dans cette suite, est-ce qu’il y a un rang (une position) pour lequel tu pourrais construire une figure qui a exactement 34 cercles? Explique ton raisonnement. »
Demandez aux élèves de créer une suite pour montrer l’équivalence des valeurs de pièces et de billets. Par exemple, 1 billet de cinq dollars et 5 pièces de un dollar, 2 billets de cinq dollars et 10 pièces de un dollar, 3 billets de cinq dollars et 15 pièces de un dollar, etc.
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C1.3
déterminer et utiliser les règles pour prolonger des suites, faire et justifier des prédictions, et trouver des termes manquants dans des suites représentées à l’aide de formes géométriques et de nombres (suites numériques et non numériques).
- Prolonger des suites dans plusieurs directions
- Qu’est-ce qui vient avant le 1er rang? Qu’est-ce qui vient après le 16e rang?
- Faire des prédictions proches et lointaines
- Quelle figure occuperait le 18e rang? Quelle figure occuperait le 50e rang?
- Trouver des termes manquants dans une suite
- Quelles figures occuperaient les rangs 9, 10 et 11?
- Les suites peuvent être prolongées dans plusieurs directions selon leur régularité.
- Pour prolonger des suites, faire des prédictions ou trouver des termes manquants, les élèves doivent faire des généralisations au sujet des suites à l’aide de règles.
- Les règles peuvent être exprimées en mots.
- Faire une prédiction proche consiste à indiquer ou à représenter à quoi ressembleront les prochains termes d’une suite donnée. La prédiction peut être vérifiée simplement en prolongeant la suite.
- Faire une prédiction lointaine consiste à indiquer ou à représenter à quoi ressemblera une suite bien au-delà d’une suite donnée. Des calculs sont souvent nécessaires pour faire une prédiction juste ou pour vérifier sa vraisemblance.
Demandez aux élèves de prolonger des suites; par exemple, de trouver les prochains termes de la suite : tortue, tortue, tortue, tortue, loup, tortue, tortue, tortue, tortue, loup, tortue, tortue, tortue, tortue, loup, tortue…
Amenez les élèves à prolonger des suites dans les deux directions (ce qui vient avant et ce qui vient après) pour qu’elles et ils puissent déterminer une règle pour décrire les régularités et les relations de la suite. Par exemple, présentez-leur une suite composée de carrés et de triangles, et demandez-leur de trouver les trois figures qui suivent le 16e rang. Invitez-les également à indiquer les trois figures précédant le terme qui occupe le 1er rang.
Demandez aux élèves de trouver des façons de créer et de prolonger des suites à l’aide d’une grille de 100, y compris en diagonale. Proposez-leur de continuer la suite ci-dessous de deux cases dans les deux directions. Invitez-les à vérifier leur prolongement en comparant leur suite avec les nombres sur la grille de 100.
Demandez aux élèves de faire des prédictions sur les suites et de les vérifier pour comprendre que les règles permettent de généraliser. Fournissez-leur différentes suites et amenez-les à faire des prédictions proches. Vous pouvez, par exemple, leur proposer de prédire et de vérifier le nombre de carreaux aux rangs 0, 5 et 6 dans la suite croissante ci-dessous. Posez aussi des questions telles que : « À quel rang pourrais-je construire une figure qui a 18 carreaux? ».
Demandez aux élèves de faire des prédictions lointaines dans des suites, comme les 100e, 101e et 99e termes. Les élèves commencent ainsi à faire des généralisations afin de prédire des termes éloignés et fournissent une justification. Par exemple, un motif a 5 éléments, deux motifs ont 10 éléments, trois motifs ont 15 éléments, et ainsi de suite.
Présentez aux élèves des suites dans lesquelles il manque des termes. Cela amènera les élèves à réfléchir de manière critique aux différentes règles possibles d’une suite en fonction de leurs observations. Plus il manque de termes dans la suite, plus les idées et les possibilités seront nombreuses. Par exemple :
- Visualisez et décrivez la figure cachée derrière le rectangle.
- Quels sont les nombres manquants dans les suites numériques suivantes?
30, 50, ___, ___, 110, ___…
40, ____, 80, ___, 120...
C1.4
créer et décrire des suites comprenant des nombres naturels jusqu’à 100, et représenter des relations entre ces nombres.
- Décomposer des nombres pour montrer la relation entre les dizaines et les unités
- Lorsque le nombre de dizaines diminue de 1, le nombre d’unités augmente de 10
| 73 = | 7 dizaines | + 3 unités |
| 73 = | 6 dizaines | + 13 unités |
| 73 = | 5 dizaines | + 23 unités |
| 73 = | 4 dizaines | + 33 unités |
| 73 = | 3 dizaines | + 43 unités |
| 73 = | 2 dizaines | + 53 unités |
| 73 = | 1 dizaine | + 63 unités |
| 73 = | 0 dizaine | + 73 unités |
- Créer des séries d’opérations apparentées pour montrer la relation entre les faits d’addition et de soustraction avec de plus grands nombres
| 80 + 7 = 87 | 87 − 7 = 80 |
| 81 + 6 = 87 | 87 − 6 = 81 |
| 82 + 5 = 87 | 87 − 5 = 82 |
| 83 + 4 = 87 | 87 − 4 = 83 |
| 84 + 3 = 87 | 87 − 3 = 84 |
| 85 + 2 = 87 | 87 − 2 = 85 |
| 86 + 1 = 87 | 87 − 1 = 86 |
| 87 + 0 = 87 | 87 − 0 = 87 |
- Créer des séries d’opérations apparentées pour montrer la mise en application de la connaissance des faits numériques de 7 lors de calculs avec de plus grands nombres
| 7 + 0 = 7 | 67 + 0 = 67 |
| 7 + 1 = 8 | 67 + 1 = 68 |
| 7 + 2 = 9 | 67 + 2 = 69 |
| 7 + 3 = 10 | 67 + 3 = 70 |
| 7 + 4 = 7 + 3 + 1 = 11 |
67 + 4 = 67 + 3 + 1 = 71 |
| 7 + 5 = 7 + 3 + 2 = 12 |
67 + 5 = 67 + 3 + 2 = 72 |
| 7 + 6 = 7 + 3 + 3 = 13 |
67 + 6 = 67 + 3 + 3 = 73 |
| 7 + 7 = 7 + 3 + 4 = 14 |
67 + 7 = 67 + 3 + 4 = 74 |
| 7 + 8 = 7 + 3 + 5 = 15 |
67 + 8 = 67 + 3 + 5 = 75 |
| 7 + 9 = 7 + 3 + 6 = 16 |
67 + 9 = 67 + 3 + 6 = 76 |
| 7 + 10 = 17 | 67 + 10 = 77 |
- Le système de base dix comprend de multiples régularités et des suites qui permettent d’approfondir la compréhension des relations entre les nombres.
Remarque(s) :
- La création et l’analyse de suites qui comportent des faits d’addition et de soustraction peuvent aider les élèves à maîtriser les faits numériques et à comprendre comment maintenir l’égalité des phrases mathématiques.
- La création et l’analyse de suites qui impliquent la décomposition des nombres aideront les élèves à comprendre les relations entre les nombres.
Présentez aux élèves une partie d’une série de suites basée sur un concept mathématique clé, comme la valeur de position. Demandez-leur de continuer la série pour représenter un nombre comme 73 de toutes les façons possibles en utilisant des dizaines et des unités. Les élèves pourraient remarquer que lorsqu’il y a une diminution d’une dizaine, il y a une augmentation de 10 unités.
| 73 = | 7 dizaines | + 3 unités |
| 73 = | 6 dizaines | + 13 unités |
Demandez aux élèves de créer leurs propres séries d’opérations apparentées pour démontrer les relations entre des nombres. Par exemple, elles et ils peuvent démontrer que les faits d’addition et de soustraction de 7 sont présents même lorsqu’on additionne de plus grands nombres.
| 7 + 0 = 7 | 67 + 0 = 67 |
| 7 + 1 = 8 | 67 + 1 = 68 |
| 7 + 2 = 9 | 67 + 2 = 69 |
| 7 + 3 = 10 | 67 + 3 = 70 |
| 7 + 4 = 7 + 3 + 1 = 11 |
67 + 4 = 67 + 3 + 1 = 71 |
| 7 + 5 = 7 + 3 + 2 = 12 |
67 + 5 = 67 + 3 + 2 = 72 |
| 7 + 6 = 7 + 3 + 3 = 13 |
67 + 6 = 67 + 3 + 3 = 73 |
| 7 + 7 = 7 + 3 + 4 = 14 |
67 + 7 = 67 + 3 + 4 = 74 |
| 7 + 8 = 7 + 3 + 5 = 15 |
67 + 8 = 67 + 3 + 5 = 75 |
| 7 + 9 = 7 + 3 + 6 = 16 |
67 + 9 = 67 + 3 + 6 = 76 |
| 7 + 10 = 17 | 67 + 10 = 77 |
