E1. Raisonnement géométrique et spatial
Contenus d’apprentissage
Raisonnement géométrique
E1.1
identifier les propriétés géométriques des rectangles, y compris le nombre d’angles droits, de côtés parallèles et perpendiculaires et d’axes de symétrie.
- Propriétés géométriques des rectangles
- Quatre côtés, quatre sommets, quatre angles droits
- Côtés opposés de même longueur (congrus)
- Côtés opposés parallèles
- Côtés adjacents perpendiculaires
- Au moins deux axes de symétrie : horizontal, vertical, et dans le cas d’un carré, deux diagonales
- Les propriétés géométriques sont des attributs précis qui définissent une classe de figures planes ou de solides. Les propriétés géométriques des rectangles sont les attributs que tous les rectangles possèdent, et sont notamment :
- quatre côtés, quatre sommets et quatre angles droits;
- côtés opposés de même longueur (congrus);
- côtés opposés parallèles;
- côtés adjacents perpendiculaires;
- au moins deux axes de symétrie, horizontal et vertical.
- Les propriétés géométriques sont souvent interreliées. Comme un rectangle a quatre angles droits, il doit aussi avoir deux paires de côtés parallèles, et ses côtés opposés doivent être congrus. Ce type de raisonnement spatial est utile aux ingénieurs en structure et à d’autres professionnels.
- Un carré possède toutes les propriétés géométriques d’un rectangle; par conséquent, tous les carrés sont aussi des rectangles. Toutefois, comme le carré possède d’autres propriétés géométriques (quatre côtés congrus et quatre axes de symétrie, dont deux diagonales), les rectangles ne sont pas tous des carrés.
- Ce sont les propriétés géométriques d’une figure plane, et non sa forme ni son orientation, qui lui donnent son nom. Un carré incliné peut ressembler à un losange, mais c’est bien un carré, car il en possède toutes les propriétés géométriques.
Demandez aux élèves de comparer les rectangles à d’autres types de quadrilatères en décrivant les similitudes et les différences. Elles et ils utiliseront cette comparaison pour créer une liste de propriétés géométriques applicables à l’ensemble des rectangles et distinguer les rectangles des autres figures. Amenez les élèves à reconnaître les liens entre les propriétés géométriques. Par exemple, demandez-leur : « Pouvez-vous dessiner un rectangle avec quatre angles droits et dont les côtés opposés ne sont pas de longueurs égales? » Amenez-les à comprendre pourquoi un carré est un type de rectangle (c’est un rectangle ayant quatre côtés congrus) et que tous les rectangles ne sont pas des carrés.
Proposez aux élèves d’utiliser le pliage ou un miroir pour déterminer les axes de symétrie d’un rectangle. Demandez-leur de comparer le nombre d’axes de symétrie d’un rectangle au nombre d’axes de symétrie d’autres quadrilatères. Amenez les élèves à constater que le nombre d’axes de symétrie peut servir à distinguer les rectangles des autres quadrilatères. Faites-leur remarquer que les carrés comportent également deux axes de symétrie – comme un rectangle –, ainsi que deux axes supplémentaires. Ce sont ces propriétés qui, entre autres, font qu’un carré est un rectangle, mais que tous les rectangles ne sont pas des carrés.
Position et déplacement
E1.2
situer et lire des coordonnées dans le premier quadrant d’un plan cartésien, et décrire les déplacements d’une coordonnée à l’autre à l’aide de translations.
- Coordonnées dans le premier quadrant d’un plan cartésien
- Sur un plan cartésien, deux droites numériques perpendiculaires servent à déterminer l’emplacement de points. L’axe des x est l’axe horizontal, l’axe des y est l’axe vertical, et leur intersection se trouve au point d’origine (0, 0).
- Les axes d’un plan cartésien s’étendent à l’infini dans toutes les quatre directions et contiennent des nombres positifs et négatifs, avec le point d’origine (0, 0) en leur centre. Dans le premier quadrant du plan cartésien, les coordonnées x et y sont positives.
- Une paire de nombres (coordonnées) indique l’emplacement précis d’un point sur le plan cartésien. Ces coordonnées sont présentées entre parenthèses et dans un ordre précis. Le premier nombre indique la distance sur l’axe des x, et le deuxième, la distance sur l’axe des y.
- Toutes les coordonnées sont déterminées à partir du point d’origine (0, 0). Les coordonnées (1, 5) sont celles d’un point situé une unité à droite du point d’origine le long de l’axe des x et cinq unités au-dessus du point d’origine le long de l’axe des y.
- Sur un plan cartésien, les déplacements se rapportent à la distance et à la direction. Si un point se déplace et change de coordonnées, il subit une translation.
- La compréhension d’un plan cartésien est utile dans les domaines de la géométrie, de la mesure, de l’algèbre et des données ou, plus concrètement, dans des domaines comme la navigation, le graphisme, le génie, l’astronomie et l’animation informatique.
Demandez aux élèves de dessiner le premier quadrant d’un plan cartésien sur une feuille quadrillée et d’utiliser un vocabulaire comme « perpendiculaire », « axe des x », « axe des y », « horizontal » et « vertical » pour décrire le quadrant. Demandez-leur de produire et de séquencer une série d’indices, sous forme de coordonnées, permettant de produire une série de points qui, une fois reliés, se traduisent par une forme ou une image. Les élèves partageront leurs indices entre eux et vérifieront si la séquence et la coordination des points sont exactes et permettent de produire l’image souhaitée. Sinon, demandez aux élèves de jouer au « jeu des devinettes et de stratégies » (p. ex., une version modifiée du jeu « Bataille navale ») en « plaçant » un objet dans un plan cartésien. Formez des dyades, et à tour de rôle, un élève tente de deviner les coordonnées des points représentant l’objet pendant que l’autre élève vérifie si elle ou il a réussi ou non à toucher l’objet.
Remettez aux élèves le premier quadrant du plan cartésien avec des points déjà dessinés. Demandez-leur de décrire le déplacement pour se rendre d’un point à l’autre. Elles et ils doivent décrire la position à l’aide des coordonnées ainsi que le déplacement et la direction (p. ex., 4 vers la droite et 5 vers le haut (4D, 5H) ou 4→ et 5↑).
E1.3
décrire et effectuer des translations et des réflexions dans une grille, et prédire les résultats de ces transformations.
- Prédire les résultats de transformations géométriques
- Visualiser la position d’une figure plane en se basant sur ses connaissances et expériences préalables des translations et des réflexions sur un plan cartésien. Par exemple, demandez aux élèves de penser et de discuter des points suivants :
- Où placeriez-vous l’axe de réflexion entre les rectangles D et E?
- Décrivez la transformation géométrique à effectuer pour que le rectangle B soit l’image du rectangle C.
- Décrivez la transformation géométrique à effectuer pour que le rectangle F soit l’image du rectangle E.
- Quel rectangle est l’image obtenue à la suite de la réflexion du rectangle B?
- Quels rectangles sont les images obtenues à la suite de la réflexion du rectangle A?
- Visualiser la position d’une figure plane en se basant sur ses connaissances et expériences préalables des translations et des réflexions sur un plan cartésien. Par exemple, demandez aux élèves de penser et de discuter des points suivants :
- Translation sur une grille
- Chaque sommet du triangle subit une translation de cinq unités vers la droite et de trois unités vers le haut, (5D, 3H) ou 5→ et 3↑.
- Réflexion sur une grille
Axe de réflexion horizontal | |
Axe de réflexion vertical | |
- Une transformation géométrique est un changement apporté à la position ou à la grandeur d’une figure plane. Lorsqu’une figure plane est transformée, ses sommets (points sur le plan cartésien) se déplacent. C’est pourquoi une transformation se rapporte à l’emplacement et aux déplacements.
- Une translation se rapporte à la distance et à la direction. Tous les points de la figure initiale se déplacent sur la même distance et dans la même direction pour créer l’image résultant de la translation. Par exemple, sur un plan cartésien, une translation peut déterminer que chaque point se déplacera de cinq unités vers la droite (« 5 vers la droite ») et de deux unités vers le haut (« 2 vers le haut »). Une convention mathématique veut que la distance horizontale (sur l’axe des x) soit donnée en premier, avant la distance verticale (sur l’axe des y).
- Une réflexion se fait à l’aide d’un axe de réflexion qui agit comme un miroir. Chaque point de la figure initiale est reproduit à l’inverse de l’autre côté de l’axe de réflexion pour créer une image reflétée. Les points de la figure initiale sont à la même distance de l’axe de réflexion que les points de l’image reflétée. La figure initiale et l’image reflétée sont symétriques.
- Les applications de géométrie dynamique en ligne permettent aux élèves de voir comment les transformations se produisent en temps réel. Ces outils sont recommandés pour l’étude des transformations et des déplacements.
Invitez les élèves à dessiner un polygone sur une feuille de papier quadrillé et d’en identifier chacun des sommets. Demandez aux élèves de choisir au hasard une direction (p. ex., droite, gauche, haut, bas) et une distance (p. ex., 1 à 10) pour une translation. Invitez-les à déplacer chaque sommet de leur polygone pour créer la nouvelle image. Amenez les élèves à comprendre que, même si la position de la forme a changé, celle-ci n’a fait que glisser sur une même distance et dans une même direction, donnant lieu à une figure congruente (de forme et de taille identique). Demandez aux élèves de visualiser et de prévoir le résultat d’une deuxième translation.
Présentez aux élèves une image en précisant qu’il s’agit de l’image obtenue à la suite d’une translation et décrivez-leur la translation en mentionnant la distance et la direction (p. ex., cinq vers la droite et deux vers le haut ou 5→ et 2↑). Demandez aux élèves de dessiner la figure initiale.
Pour approfondir leur compréhension des réflexions, demandez aux élèves de dessiner un polygone sur du papier quadrillé et d’identifier les sommets (p. ex., A, B, C). Demandez-leur d’utiliser un outil (p. ex. un miroir de symétrie) pour effectuer une réflexion et ainsi obtenir l’image du polygone. Dites-leur de dessiner l’image et d’identifier les sommets (p. ex., A’, B’, C’). Amenez les élèves à comprendre que, même si les figures demeurent congruentes, les positions des sommets ont été « renversées » par rapport à l’axe de réflexion en maintenant une distance constante par rapport à l’axe de réflexion. À partir de l’image (A’, B’, C’), demandez aux élèves de tracer un nouvel axe de réflexion et de prédire où se situera la nouvelle image (A’’, B’’, C’’). Elles et ils peuvent ensuite vérifier leurs prédictions en utilisant un outil de réflexion. Cet exercice pourrait aussi être effectué au moyen d’une application de géométrie dynamique en ligne.
Fournissez aux élèves un dessin d’un polygone tracé sur une feuille quadrillée ainsi qu’un éventail d’énoncés décrivant les translations et les réflexions (p. ex., 2 vers le bas, 2 vers la gauche, ou →4 et ↑5, ou réflexion selon un axe vertical traversant un sommet). Invitez les élèves à choisir au hasard un énoncé, puis à prédire où se situera le nouveau polygone (l’image) sur la grille. Demandez aux élèves de visualiser et de prédire le résultat de la transformation géométrique sélectionnée et de vérifier leur prédiction en effectuant la transformation.