B1. Sens du nombre
Contenus d’apprentissage
Nombres naturels
B1.1
lire, représenter, composer et décomposer les nombres naturels de 0 jusqu’à 100 000, à l’aide d’outils et de stratégies appropriés, et décrire de quelles façons ils sont utilisés dans la vie quotidienne.
- Représenter des nombres naturels
- En mots (p. ex., quatre-vingt-quatre mille six cent vingt)
- En chiffres (p. ex., 84 620)
- Sous forme de décomposition additive (p. ex., 80 000 + 4 000 + 600 + 20)
- Sous forme développée [p. ex., (8 x 10 000) + (4 × 1000) + (6 × 100) + (2 × 10) + (0 × 1)]
- En les exprimant selon différentes valeurs de position (p. ex., 84 620 = 846 centaines et 20 unités)
- Composer des nombres naturels
- 84 620
- À l’aide de bonds sur une droite numérique ouverte
- 84 620
- Décomposer des nombres naturels
- 24 336
- À l’aide de la valeur de position (p. ex., 24 336 = 2 dizaines de milliers + 4 milliers + 3 centaines + 3 dizaines + 6 unités)
- En deux groupes égaux (p. ex., 24 336 = 12 168 + 12 168)
- 24 336
- La lecture des nombres permet de les interpréter comme des quantités lorsqu’ils sont exprimés en mots ou en chiffres, ou représentés à l’aide de matériel concret ou de modèles.
- Les chiffres de 0 à 9 sont utilisés pour former des nombres. Chaque chiffre correspond à une valeur de position. Par exemple, dans le nombre 34 107, le chiffre 3 représente 3 dizaines de mille, le chiffre 4 représente 4 unités de mille, le chiffre 1 représente 1 centaine, le chiffre 0 représente 0 dizaine et le chiffre 7 représente 7 unités.
- La séquence de 0 à 9 se répète à chaque dizaine. La valeur de position permet de décrire la quantité, peu importe la grandeur de celle-ci.
- La forme développée (p. ex., 34 187 = 30 000 + 4 000 + 100 + 80 + 7 ou 3 × 10 000 + 4 × 1 000 + 1 × 100 + 8 × 10 + 7 × 1) est utile pour montrer les liens avec la valeur de position.
- Les nombres peuvent être composés et décomposés de diverses façons, y compris à l’aide de la valeur de position.
- Les nombres peuvent être composés en combinant au moins deux nombres pour créer un nombre plus grand. Par exemple, les nombres 100 et 2 peuvent être composés pour faire la somme 102 ou le produit 200.
- Les nombres peuvent être décomposés en les représentant comme une composition d’au moins deux plus petits nombres. Par exemple, 53 125 peuvent être décomposés en 50 000 et 3 000 et 100 et 25.
- Les nombres peuvent être décomposés en facteurs. Par exemple, 81 peut être décomposé en facteurs 1, 3, 9, 27 et 81.
- Les nombres sont utilisés dans diverses situations de la vie quotidienne de diverses manières et dans différents contextes. Le plus souvent, les nombres servent à décrire et à comparer des quantités. Ils expriment l’ordre de grandeur et permettent de répondre à des questions comme « combien? » et « combien de plus? ».
Remarque(s):
- Chaque domaine d’étude du programme-cadre de mathématiques s’appuie sur les nombres.
- Comparer des quantités et établir des relations entre elles aident à comprendre l’ordre de grandeur d’un nombre, ou « combien » il représente.
- Décomposer de grands nombres et les recomposer de façon à faciliter un calcul mental s’avèrent très utile lorsqu’on travaille avec de grands nombres.
- Les droites numériques sont des outils puissants pour représenter les nombres.
- Il est important que les élèves comprennent les aspects clés de la valeur de position. Par exemple :
- La « position » d’un chiffre dans un nombre détermine sa valeur (valeur de position). Par exemple, le « 5 » dans 511 a une valeur de 500 et non de 5.
- Un zéro dans le nombre indique qu’il n’y a pas de groupe à cette valeur de position. Il sert de zéro positionnel et garde les autres chiffres dans leur bonne « position ».
- La valeur de position d’un chiffre dans un nombre augmente par une régularité multiplicative constante de « fois 10 ». Par exemple, sur un tapis de valeur de position, si le chiffre « 5 » se déplace vers la gauche, de 5 000 à 50 000, la valeur du chiffre devient 10 fois plus grande. S’il se déplace vers la droite, de 5 000 à 500, sa valeur devient 10 fois plus petite.
- Pour trouver la valeur d’un chiffre dans un nombre, on multiplie la valeur du chiffre par la valeur de sa position. Par exemple, dans le nombre 52 036, le 5 représente 50 000 (5 × 10 000) et le 2 représente 2 000 (2 × 1 000).
- La forme développée représente la valeur de chaque chiffre séparément et peut s’écrire comme une égalité. En utilisant la forme développée, 7 287 s’écrit 7 000 + 200 + 80 + 7.
- La régularité unités-dizaines-centaines se répète dans chaque tranche (unités, milliers, millions, milliards, etc.). L’exposition à cette régularité et aux noms des tranches, les millions et au-delà, répond également à la curiosité naturelle des élèves entourant les « grands nombres ».
Régularité des valeurs de position
Unités de milliard |
Centaines de million |
Dizaines de million |
Unités de million |
Centaines de mille |
Dizaines de mille |
Unités de mille |
Centaines | Dizaines | Unités |
- Le nombre « soixante-dix-huit mille trente-sept » s’écrit « 78 037 » et non « 78 000 37 ». Le nom de la tranche (mille) structure le nombre et indique la position du chiffre.
Demandez aux élèves de représenter 100 000 de diverses façons. Par exemple, les élèves pourraient :
- déterminer combien de gros cubes de base dix (ou de planchettes ou de languettes) elles et ils auraient besoin pour représenter 100 000 et utiliser ce matériel de base dix (gros cubes, languettes et planchettes) pour décrire différentes façons de composer et de décomposer 100 000;
- effectuer des comparaisons multiplicatives, par exemple calculer combien il faut de billets de 100 $ (et autres coupures) pour obtenir 100 000 $, ou combien d’arénas de hockey locaux (ou autre bâtiment local) remplis totaliserait 100 000 personnes;
- créer des mesures repères en déterminant à quelle distance correspondent 100 000 kilomètres, ou à quelle longueur équivalent 100 000 millimètres ou 100 000 centimètres;
- effectuer des comparaisons à partir des populations de villes, comme Hawkesbury en Ontario, qui compte environ 10 000 habitants, et déterminer par combien il faudrait multiplier la population de Hawkesbury pour totaliser 100 000 personnes;
- utiliser les données d’un recensement pour trouver des nombres proches de 100 000 et faites des comparaisons avec les données de recensements d’autres années;
- chercher d’autres exemples de situations authentiques qui représentent la quantité 100 000 et les partager avec la classe.
Demandez aux élèves d'expliquer comment la valeur de position les aide à lire un nombre tel que 59 608 (cinquante-neuf mille six cent huit) et les amener à dégager des idées importantes par rapport à cette valeur en leur faisant comparer les nombres 5 968 et 59 608. Pour souligner que les conventions relatives à la valeur de position diffèrent de la représentation des nombres en mots, leur présenter ce scénario.
- Quelqu’un a entendu le nombre « cinquante-neuf mille six cent huit » et l’a écrit de la façon suivante : 59 000 600 8. Pourquoi croyez-vous que la personne l’ait écrit ainsi? Quelle idée par rapport à la valeur de position lui échappe, selon vous? Comment pourriez-vous l’aider à lire et à écrire les nombres correctement?
Demandez aux élèves de souligner le rôle du zéro, la nécessité de porter attention à la régularité des unités-dizaines-centaines lorsqu’un nombre est lu et l’utilisation du nom de la tranche (p. ex., milliers) pour déterminer où se positionnent les chiffres dans un tableau de valeurs de position.
B1.2
comparer et ordonner les nombres naturels jusqu’à 100 000, dans divers contextes.
- Comparer des nombres naturels
- En utilisant la valeur de position
- 30 250 et 30 715
- 30 250 = 30 000 + 200 + 50
- 30 715 = 30 000 + 700 + 10 + 5
- Les chiffres à la position des dizaines de milliers et des milliers sont les mêmes, et les chiffres à la position des centaines sont différents, alors les centaines sont comparées. Puisque le chiffre 2 est inférieur au chiffre 7, ce qui signifie que 200 < 700, alors 30 250 est inférieur à 30 715.
- En utilisant d’autres nombres
- Entre 30 250 et 29 915, quel nombre est plus près de 30 000?
- 30 250 est 250 de plus que 30 000, et 29 915 est 85 de moins que 30 000
- Alors 29 915 est plus près de 30 000 que 30 250
- En arrondissant
- 30 250 et 30 715
- On peut arrondir 30 250 à 30 000, et 30 715 à 31 000, alors 30 715 est supérieur à 30 250.
- En utilisant la valeur de position
- Ordonner des nombres naturels
- Placer les nombres en ordre croissant (p. ex., 32 598, 32 601, 43 598, 76 400)
- Placer les nombres en ordre décroissant (p. ex., 76 400, 43 598, 32 601, 32 598)
- Les nombres peuvent être comparés et ordonnés en tenant compte des quantités qu’ils représentent, le « combien » d’un nombre (ordre de grandeur).
- Les nombres avec les mêmes unités de mesure peuvent être comparés directement (p. ex., 72 cm2 comparés à 62 cm2).
- Parfois, des nombres sans la même unité peuvent être comparés, comme 6 200 kilomètres et 6 200 mètres. Sachant que « l’unité-kilomètres » est supérieure à « l’unité-mètres », et sachant que 6 200 kilomètres sont supérieurs à 6 200 mètres, on peut en déduire que 6 200 kilomètres sont une distance supérieure à 6 200 mètres.
- Des nombres repères peuvent être utilisés pour comparer des quantités. Par exemple, 41 132 est inférieur à 50 000 et 62 000 est supérieur à 50 000, donc 41 132 est inférieur à 62 000.
- Les nombres peuvent être comparés à l’aide de leur valeur de position. Par exemple, lors de la comparaison de 82 500 et 84 500, la plus grande valeur de position dans laquelle les nombres diffèrent est comparée. Dans cet exemple, 2 unités de mille (de 82 500) et 4 unités de mille (de 84 500) sont comparés. Puisque 4 unités de mille est supérieur à 2 unités de mille, 84 500 est supérieur à 82 500.
- Les nombres peuvent être placés en ordre croissant, du plus petit au plus grand, ou en ordre décroissant, du plus grand au plus petit.
Remarque(s) :
- Les nombres peuvent être comparés en faisant appel au raisonnement proportionnel. Par exemple, 100 000 est 10 fois supérieur à 10 000; il est également 100 fois supérieur à 1 000. Il faudrait 1 000 billets de cent dollars pour faire 100 000 $.
- Selon le contexte du problème, les nombres peuvent être comparés de manière additive ou multiplicative.
Créez une droite numérique en attachant des nombres repères de 0 à 100 000 (p. ex., 0, 50 000, 1 000 ou des multiples de 10 000) à une corde à linge à l’aide de pinces. Demandez aux élèves d’écrire n’importe quel nombre de 0 à 100 000 sur une carte et de l’épingler à la position approximative en se référant aux nombres repères et de justifier leur raisonnement.
Comme variante, demandez aux deux premiers élèves de mettre leurs cartes à l’une ou l’autre des extrémités de la corde, et dites aux suivants d’inscrire sur leur carte de nouveaux nombres qui viendraient s’insérer entre les deux. Pour appuyer les élèves dans l’exécution de comparaisons multiplicatives, amenez-les à estimer la distance relative entre les cartes. Faites-leur remarquer, par exemple, que si 100 000 est 100 fois supérieur à 1 000, la distance entre 0 et 1 000 devrait être d’environ un centième de la distance totale.
Demandez aux élèves de trouver la capacité de 10 grandes salles de spectacle partout dans le monde et de les classer selon le nombre de places, de la plus grande salle à la plus petite. Demandez-leur de trouver la capacité, en matière de nombre de spectateurs, d’un théâtre local ou d’une salle de cinéma, et de déterminer approximativement combien de ce site local serait nécessaires pour remplir la plus grande salle de spectacle. Amenez les élèves à comparer ces lieux en utilisant à la fois l’addition et la soustraction (de combien l’un est-il plus grand que l’autre) et la multiplication et la division (combien de fois l’un est plus grand que l’autre) et discutez de la manière dont les différentes opérations créent différents types de comparaisons (absolues ou relatives).
Fractions, nombres décimaux et pourcentages
B1.3
représenter des fractions équivalentes à partir des demis jusqu’aux douzièmes, y compris des fractions impropres et des nombres fractionnaires, à l’aide d’outils appropriés, dans divers contextes.
- Représenter des fractions équivalentes
- Au moyen de bandes de fraction (modèle de longueur)
- À l’aide d’un modèle d’horloge ou de cercle
- Au moyen d’un ensemble
- Au moyen de droites numériques
- Les fractions équivalentes décrivent la même relation ou la même quantité.
- Lorsqu’on travaille avec des fractions en tant que quotient, les fractions équivalentes sont celles qui ont le même résultat que quand les numérateurs sont divisés par les dénominateurs.
- Lorsqu’on travaille avec des fractions comme parties d’un tout, les parties de la fraction peuvent être fractionnées ou assemblées pour créer des fractions équivalentes. Le tout ne change pas.
- Lorsqu’on travaille avec des fractions à titre de comparaison, le rapport entre le numérateur et le dénominateur des fractions équivalentes est égal.
Remarque(s) :
- Des modèles et des outils peuvent être utilisés pour développer la compréhension des fractions équivalentes. Par exemple :
- Des bandes de fraction ou d’autres modèles, comme des cercles fractionnaires, peuvent créer la même aire que la fraction d’origine lorsqu’on utilise des parties fractionnées ou assemblées.
- Des bandes de papier peuvent être pliées pour montrer le fractionnement afin de créer des parties équivalentes.
- Une droite numérique double ou un tableau de rapports peut être utilisé pour représenter des fractions équivalentes basées sur différentes échelles.
- Une fraction est un nombre qui nous donne de l’information sur la relation entre deux quantités. Ces deux quantités sont exprimées en parties et en tout de différentes manières, selon le contexte.
- Les fractions peuvent représenter une partie d’un tout.
- Le dénominateur décrit le nombre de parties égales par lequel un tout est fractionné (l’unité fractionnaire) et le numérateur représente les parties considérées.
- Par exemple, si 1 barre de céréales (1 tout) est divisée en 4 morceaux (parties), chaque morceau représente un quart ($$\frac{1}{4}$$) de la barre. Deux morceaux représentent 2 quarts ($$\frac{2}{4}$$) de la barre, trois morceaux représentent trois quarts ($$\frac{3}{4}$$) de la barre et enfin quatre morceaux représentent quatre un quart ($$\frac{4}{4}$$) de la barre.
- Les fractions peuvent représenter un quotient (division).
- La fraction représente la relation entre le nombre de touts (numérateur) et le nombre de parties dans lesquelles le tout est divisé (dénominateur).
- Par exemple, 3 barres de céréales (3 touts) sont partagées également avec 4 personnes (nombre de parties), ce qui peut être exprimé en $$\frac{3}{4}$$.
- Les fractions peuvent représenter une comparaison.
- La fraction représente la relation entre deux parties d’un même tout. Le numérateur est une partie et le dénominateur est l’autre partie.
- Par exemple, un sac contient 3 billes rouges et 2 billes jaunes. La fraction $$\frac{3}{2}$$, qui est équivalent au nombre fractionnaire 1$$\frac{1}{2}$$, représente qu’il y a 1 fois et demie plus de billes rouges que de billes jaunes.
- Les fractions peuvent représenter un opérateur.
- Lorsque les fractions sont considérées comme un opérateur, la fraction augmente ou diminue une quantité d’un facteur.
- Par exemple, dans les cas de $$\frac{3}{4}$$ d’une barre de céréales, $$\frac{3}{4}$$ de 100 $ et $$\frac{3}{4}$$ d’un rectangle, la fraction réduit la quantité d’origine aux $$\frac{3}{4}$$ de sa taille.
- Les fractions peuvent représenter une partie d’un tout.
Demandez aux élèves de créer une tour de fractions à partir de bandes de fraction. Vous trouverez des instructions sur la façon dont les élèves peuvent construire leurs propres ensembles de fractions à l’exemple de tâches 1 de B1.4 en 4e année. Amenez les élèves à remarquer où les bandes de fraction s’alignent et demandez-leur de nommer les fractions équivalentes (p. ex., 1 demi = 2 un quart = 3 un sixième = 4 un huitième = 5 un dixième, ou un demi = deux un quart = trois un sixième = quatre un huitième = cinq un dixième). Discutez pour déterminer si une unité a été fusionnée avec une autre (p. ex., 2 un quart assemblés pour former 1 demi) ou fractionnée (p. ex., 2 un tiers fractionnés en 4 un sixième). Orientez la conversation de façon à faire ressortir la relation entre les numérateurs et les dénominateurs de fractions équivalentes, et décrivez la règle concernant cette relation (p. ex., le dénominateur de ces fractions équivalentes est toujours deux fois supérieur au numérateur; si je multiplie ou je divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre, ils produisent une fraction équivalente).
B1.4
comparer et ordonner des fractions à partir des demis jusqu’aux douzièmes, y compris des fractions impropres et des nombres fractionnaires, dans divers contextes.
- Comparer et ordonner des fractions à l’aide de bandes de fraction
- $$\frac{5}{2}$$, $$\frac{9}{5}$$, $$\frac{9}{4}$$, $$\frac{10}{6}$$
- « Je vais représenter les fractions avec des bandes de fraction » :
- $$\frac{5}{2}$$, $$\frac{9}{5}$$, $$\frac{9}{4}$$, $$\frac{10}{6}$$
- « Maintenant je peux ordonner les fractions de la plus grande à la plus petite $$\frac{5}{2}$$, $$\frac{9}{4}$$, $$\frac{9}{5}$$, $$\frac{10}{6}$$ »
- Lorsque vous travaillez avec des fractions comme parties d’un tout, les fractions sont comparées au même tout.
- Les fractions peuvent être comparées à l’aide du raisonnement spatial en utilisant des modèles pour représenter les fractions. Si un modèle de surface est choisi, les aires que les fractions représentent sont comparées. Si un modèle linéaire est choisi, alors les longueurs que les fractions représentent sont comparées.
- Si deux fractions ont le même dénominateur, les numérateurs peuvent être comparés. Dans ce cas, la fraction ayant le plus grand numérateur est la plus grande, car le nombre de parties considérées est plus grand (p. ex., $$\frac{2}{3}$$ > $$\frac{1}{3}$$).
- Si deux fractions ont les mêmes numérateurs, les dénominateurs peuvent être comparés. Dans ce cas, la fraction ayant le plus grand dénominateur est la plus petite, car la taille de chaque partie du tout est plus petite (p. ex., $$\frac{5}{6}$$ < $$\frac{5}{3}$$).
- Les fractions peuvent être comparées en utilisant le repère $$\frac{1}{2}$$. Par exemple, $$\frac{5}{6}$$ est supérieur à $$\frac{3}{4}$$, car $$\frac{5}{6}$$ est supérieur à $$\frac{1}{2}$$ et $$\frac{3}{8}$$ est inférieur à $$\frac{1}{2}$$.
- Les fractions peuvent être ordonnées en ordre croissant ou décroissant.
Remarques(s) :
- Le choix du modèle utilisé pour comparer les fractions peut être influencé par le contexte du problème. Par exemple :
- un modèle linéaire peut être choisi lorsque le problème consiste à comparer des éléments, comme les longueurs d’un ruban ou les distances.
- un modèle de surface peut être choisi lorsque le problème consiste à comparer l’aire de figures planes comme un jardin ou un drapeau.
Adaptez la droite numérique en corde à linge (voir l’exemple de tâches 1 de B1.2) afin de l’utiliser avec des fractions, et accrochez des cartes de nombres naturels repères (p. ex., 3, 4 et 5). Demandez aux élèves de choisir parmi un jeu de cartes de fractions préfabriquées qui se situent dans cet intervalle et qui contiennent des nombres fractionnaires et des fractions impropres. Au fur et à mesure que les élèves placent leurs cartes sur la corde à linge, demandez-leur d’expliquer leur raisonnement et de dégager des stratégies basées sur leur compréhension des fractions (voir la section Concepts clés). Demandez-leur d’accrocher des fractions équivalentes les unes en dessous des autres et de discuter des régularités et des relations. Au fur et à mesure que d’autres fractions sont ajoutées à la corde à linge, utilisez celles qui sont déjà suspendues comme points de repère et ajustez-les si nécessaire à mesure que la densité des fractions augmente.
Demandez aux élèves de déterminer quelle fraction dans les paires ci-dessous est la plus grande et de justifier ce choix. En sélectionnant les paires de fractions, tenez compte des stratégies énumérées dans les concepts clés. Par exemple :
- $$\frac{4}{7}$$ ou $$\frac{4}{9}$$
- $$\frac{3}{5}$$ ou $$\frac{4}{5}$$
- $$\frac{2}{5}$$ ou $$\frac{4}{7}$$
- $$\frac{11}{12}$$ ou $$\frac{7}{8}$$
- $$\frac{4}{6}$$ ou $$\frac{17}{12}$$
- $$\frac{12}{5}$$ ou $$2\frac{2}{5}$$
- $$1\frac{1}{6}$$ ou $$\frac{11}{6}$$
- $$\frac{15}{12}$$ ou $$\frac{6}{4}$$
B1.5
lire, représenter, comparer et ordonner des nombres décimaux jusqu’aux centièmes, dans divers contextes.
- Représenter des nombres décimaux
- En mots (p. ex., trois et soixante-quinze centièmes)
- En chiffres (p. ex., 5,65)
- Sous forme de décomposition additive (p. ex., 12,79 = 12,00 + 0,70 + 0,09)
- Sous forme développée (p. ex., 74,28 = (7 × 10) + (4 × 1) + (2 × 0,1) + (8 × 0,01))
- Sous forme développée à l’aide de fractions (p. ex., 9,234 = (9 × 1) + (2 × $$\frac{1}{10}$$) + (3 × $$\frac{1}{100}$$) + (4 × $$\frac{1}{1000}$$))
- En monnaie (p. ex., 4 pièces de un dollar et 1 pièce de 25 cents s’écrit 4,25 $)
- Au moyen de grilles de centièmes (p. ex., 4 unités et 25 centièmes)
- Comparer et ordonner des centièmes de nombres décimaux
- En représentant tous les nombres en fonction de centièmes (p. ex., 3,00; 3,20; 3,02) :
- reconnaître que 3,2 est équivalent à 3,20
- placer en ordre croissant : 3,00; 3,02; 3,20
- En représentant tous les nombres en fonction de centièmes (p. ex., 3,00; 3,20; 3,02) :
- La valeur de position de la première position à droite de la virgule est le dixième. La deuxième position à droite de la virgule décimale correspond aux centièmes.
- Les nombres décimaux peuvent être inférieurs à un (p. ex., 0,65) ou supérieurs à un (p. ex., 24,72).
- Le tout doit être explicitement indiqué lorsque les nombres décimaux sont représentés visuellement, car sa représentation est relative au tout.
- Les nombres décimaux peuvent être comparés et ordonnés en identifiant visuellement la taille du nombre décimal par rapport à un tout.
Remarque(s) :
- Entre deux nombres naturels consécutifs se trouvent d’autres nombres. Les nombres décimaux sont la façon dont le système de base dix représente ces nombres « entre » les nombres. Par exemple, le nombre 3,62 décrit une quantité entre 3 et 4, plus précisément entre 3,6 et 3,7.
- On peut établir des liens entre les nombres décimaux et les fractions décimales puisqu’il s’agit d’une autre façon de représenter des fractions avec des dénominateurs de 10, 100, 1 000, etc. La première position après la virgule décimale représente les dixièmes, la deuxième représente les centièmes, etc., et des valeurs de position sont ajoutées pour décrire des parties infiniment plus petites.
- Les nombres décimaux, comme les fractions, ont un numérateur et un dénominateur. La partie décimale d’un nombre peut être exprimée en fraction. Son dénominateur est toujours une puissance de dix.
- La virgule décimale indique l’emplacement de l’unité. L’unité est toujours à gauche de la virgule décimale. Il y a une symétrie entourant la position de l’unité, de sorte que les dizaines correspondent aux dixièmes et que les centaines correspondent aux centièmes.
- Entre deux positions dans le système de base dix, il y a un rapport de 10 : 1, et il en est de même pour les nombres décimaux. Si un chiffre se déplace d’une position vers la droite, sa valeur devient dix fois plus petite, et s’il se déplace de deux positions vers la droite, cent fois plus petite. Donc, 0,05 est dix fois plus petit que 0,5 et est cent fois plus petit que 5. Cela signifie également que 5 représente 100 fois plus que 0,05, tout comme il y aurait 100 pièces de 5 cents (0,05 $) dans 5,00 $.
- Comme pour les nombres naturels, un zéro dans une décimale indique qu’il n’y a pas de groupe à cette valeur de position dans le nombre.
- 5,07 signifie qu’il y a 5 unités, 0 dixième, 7 centièmes;
- 5,10 signifie qu’il y a 5 unités, 1 dixième et 0 centième;
- 5,1 (cinq et un dixième) et 5,10 (5 et 10 centièmes) sont équivalents.
- Les nombres décimaux sont lus de diverses façons dans la vie quotidienne. Toutefois, pour renforcer le lien entre les nombres décimaux et les fractions, et pour rendre visible la valeur de position, il est recommandé de lire les nombres décimaux comme leur fraction équivalente. Donc, 2,57 serait lu « 2 et 57 centièmes ».
- Les nombres décimaux peuvent être comparés et ordonnés comme tout autre nombre, y compris les fractions. Comme pour les fractions, les nombres décimaux décrivent également une quantité relative à un tout.
- De nombreux outils utilisés pour représenter des nombres naturels peuvent aussi servir pour représenter des nombres décimaux. Par exemple, une languette dans le matériel de base dix qui a été utilisée pour représenter 10 unités peut être utilisée pour représenter un tout qui est fractionné en dixièmes, et une planchette qui a été utilisée pour représenter 100 unités peut être utilisée pour représenter un tout qui est fractionné en centièmes.
Les calculatrices peuvent être très utiles pour rendre visibles les régularités de la valeur de position. (Voir l’exemple de tâches 1 de B1.7 en 4e année pour la même activité avec les dixièmes.) Demandez aux élèves d’entrer 10 000 sur une calculatrice et de diviser de façon répétée par 100 (entrez 10 000 ÷ 100 = = =). Amenez-les à remarquer que 1 divisé par 100 est égal à 0,01. Guidez-les pour qu’elles et ils établissent des liens avec les fractions et reconnaissent qu’un tout divisé en 100 parties est $$\frac{1}{100}$$. Faites-leur lire 0,01 comme « un centième » pour rendre ce lien explicite. Ensuite, demandez-leur d’utiliser la touche « égal » pour multiplier à plusieurs reprises un centième par dix (0,01 × 10 = = =). Faites remarquer que 10 centièmes est égal à 1 dixième et que 100 centièmes (0,01 × 10 × 10 est égal à 0,01 × 100) font 1 entier. Faites remarquer que cette régularité de « fois dix » s’étend à l’ensemble du système de la valeur de position, des deux côtés de la virgule, et utilisez d’autres exemples pour illustrer, au besoin.
Demandez aux élèves d’écrire les quatre prochains nombres de la suite : 0,92; 0,94; 0,96; … Pour celles et ceux qui croient que 0,100 suivra 0,99, faites-les compter en fractions pour souligner qu’après $$\frac{99}{100}$$ vient $$\frac{100}{100}$$, qui correspond à 1. Établissez des liens entre la notation fractionnaire et les nombres décimaux et amenez les élèves à reconnaître le sens du zéro dans la valeur de position, et pourquoi 0,1; 0,10; 0,100 sont tous équivalents.
Adaptez l’activité de la corde à linge (voir les contenus d’apprentissage B1.2 et B1.4) pour inclure des nombres décimaux. Placez des cartes repères de 0 et 3 à chaque extrémité de la corde à linge. Demandez aux élèves de choisir parmi un jeu de cartes préfabriquées comportant des nombres décimaux se situant dans cet intervalle et ayant une ou deux décimales. Pendant que les élèves discutent de l’emplacement possible des cartes, soulignez la nécessité de diviser un nombre naturel en dix sections égales (pour les dixièmes) et chaque dixième en dix autres sections (pour les centièmes).
Changez les cartes repères (p. ex., 27 et 30) et demandez aux élèves de décider où elles et ils placeraient une carte comme 28,25. Enrichissez l’apprentissage en incluant les fractions (pour B1.3) et les pourcentages (pour B1.7) à cet exemple de tâches afin d’établir d’autres liens.
Pour renforcer la pensée relationnelle des élèves, demandez-leur de changer les valeurs unitaires de différentes pièces du matériel de base dix. Par exemple, dites aux élèves de penser au gros cube comme à un tout (1) et de déterminer quelle pièce du matériel de base dix représente 0,01 de ce tout. En utilisant le gros cube comme le tout, amenez-les à représenter des nombres décimaux (p. ex., 0,75) et à décrire le lien entre ce nombre et son équivalent en fraction, soit $$\frac{3}{4}$$. Remplacez ensuite le tout par une planchette et demandez aux élèves de montrer quelle pièce du matériel de base dix correspond à 0,01.
Soulignez la manière dont les nombres décimaux (et les fractions) décrivent une relation avec le tout, par exemple :
- 0,01 (ou $$\frac{1}{100}$$) de 1000 est 10;
- 0,01 (ou $$\frac{1}{100}$$) de 100 est 1.
B1.6
arrondir les nombres décimaux au dixième près, dans divers contextes.
- Arrondir dans divers contextes
- longueur ou distance en mètres ou kilomètres au dixième près
- masse en kilogrammes au dixième près
- durée d’une course en secondes au dixième près
- Arrondir un nombre permet d’en faciliter l’utilisation. Les mêmes principes pour arrondir les nombres naturels s’appliquent à l’arrondissement des nombres décimaux.
- L’arrondissement compare un nombre à un point de référence donné. Par exemple, est-ce que 1,75 est plus près de 1 ou de 2? Est-ce que 1,84 est plus près de 1,8 ou de 1,9?
- 56,23 arrondis au dixième près devient 56,2, puisque 56,23 est plus proche de 56,2 que 56,3 (il est à trois centièmes de 56,2 et sept centièmes de 56,3).
- 56,28 arrondis au dixième près devient 56,3 puisque 56,28 est plus proche de 56,3 que de 56,2.
- Lorsqu’on arrondit un nombre et que le chiffre à sa droite est 5 ou plus, la convention veut qu’on arrondisse le nombre vers le haut (sauf si le contexte suggère autre chose (p. ex., 56,25 est arrondi à 56,3.)
Remarque(s) :
- Comme pour les nombres naturels, arrondir des nombres décimaux fait appel à la prise de décisions quant au niveau de précision exigé. Arrondir un nombre à la hausse ou à la baisse dépend du contexte.
Utilisez la corde à linge des nombres décimaux de l’exemple de tâches 3 de B1.5. Marquez les extrémités comme représentant 0 et 3 et fractionnez la ligne en dixièmes. Donnez aux élèves des nombres décimaux comportant des centièmes et demandez-leur de les arrondir au dixième près, puis de les placer sur la droite numérique. Voici des exemples de nombres décimaux : 2,66; 2,75; 1,98; 0,31 et 0,09. Amenez les élèves à séparer l’espace entre des nombres naturels en dixièmes, puis chaque dixième en centièmes (c.-à-d. un dixième de dixième). Pour terminer l’activité, faites remarquer aux élèves la convention selon laquelle si un nombre est à la « mi-chemin », il est arrondi à la hausse.
Demandez aux élèves d’utiliser un mètre comme une droite numérique pour représenter et comparer des nombres décimaux. Demandez-leur à quoi correspond 0,01 d’un mètre (c.-à-d. la marque de 1 cm) et 0,8 (8 décimètres ou 80 centimètres) et d’expliquer leur raisonnement. Utilisez le mètre pour décider à l’œil si, par exemple, 0,32 est plus près de 0,4 ou de 0,3.
B1.7
décrire les relations et représenter les équivalences entre des fractions, des nombres décimaux jusqu’aux centièmes et des pourcentages, à l’aide d’outils et de schémas appropriés, dans divers contextes.
- Représenter l’équivalence entre une fraction, un nombre décimal et un pourcentage
- en représentant la fraction avec un dénominateur de 100
- $$\frac{1}{2}$$ = $$\frac{50}{100}$$ = 0,50 = 50 %
- en divisant le numérateur par le dénominateur
- $$\frac{2}{3}$$ = 2 ÷ 3 = 0,666 666…= $$0.\dot{6}$$ ≅ 67 %
- en représentant la fraction avec un dénominateur de 100
- Représenter l’équivalence entre un nombre décimal et une fraction
- 0,15 = $$\frac{15}{100}$$
- Représenter l’équivalence entre un pourcentage, un nombre décimal et une fraction
- 2 % = 0,02 = $$\frac{2}{100}$$
- Les fractions, les nombres décimaux et les pourcentages décrivent des relations avec un tout. Alors que les fractions peuvent utiliser tout nombre comme dénominateur, les nombres décimaux sont des puissances de dix (dixièmes, centièmes, etc.) et les pourcentages expriment un taux de 100 (« pour cent » signifie « par centaine »). Pour les nombres décimaux et les pourcentages, ce qui pourrait être considéré comme le « dénominateur » est exprimé dans une puissance de dix.
- Si une fraction ou un nombre décimal peut être exprimé en centièmes, il peut être exprimé en pourcentage. Par exemple, comme $$\frac{4}{5}$$ équivaut à $$\frac{80}{100}$$ et que 0,8 équivaut à $$\frac{4}{5}$$ et à 0,80, ils équivalent tous deux à 80 %.
- Parmi les pourcentages repères courants figurent notamment les suivants :
- 1 % = $$\frac{1}{100}$$ = 0,01
- 10 %, 20 %, 30 %, … = $$\frac{1}{10}$$, $$\frac{2}{10}$$, $$\frac{3}{10}$$, ... = 0,1; 0,2; 0,3; …
- 20 % = $$\frac{1}{5}$$ = $$\frac{2}{10}$$ = 0,2.
- 50 % = $$\frac{1}{2}$$ = 0,5
- 75 % = $$\frac{3}{4}$$ = 0,75
- 100 % = 1 = 1,00
- Un pourcentage peut être supérieur à 100 % (p. ex., 150 % = $$\frac{150}{100}$$ = 1,50).
Donnez aux élèves des carrés de papier vierges de 10 cm × 10 cm. Demandez-leur d’indiquer les dixièmes et les centièmes pour créer une grille et d’utiliser cette grille pour ombrer différents nombres décimaux comme 0,78 et 0,12, puis de décrire la quantité à l’aide d’une fraction et d’un pourcentage.
Remettez aux élèves plusieurs grilles de 10 cm × 10 cm qu’elles et ils coloreront pour représenter des nombres décimaux (p. ex., 0,75; 0,08; 0,8), des fractions (p. ex., $$\frac{3}{4}$$, $$\frac{1}{2}$$, $$\frac{3}{5}$$, $$\frac{7}{10}$$) et des pourcentages (p. ex., 25 %, 18 %). Demandez-leur de décrire les parties ombragées à l’aide de fractions, de nombres décimaux et de pourcentages. Par exemple :
- « J’ai coloré 0,82 du carré, soit 8 dixièmes et 2 centièmes, ou 82 centièmes. »
- « J’ai coloré $$\frac{82}{100}$$ de la grille. »
- « J’ai coloré 82 % de la grille. »
Demandez aux élèves d’utiliser leurs ensembles de fractions (voir l’exemple de tâches 1 de B1.3), le matériel de base dix et d’autres outils et schémas afin de démontrer, par exemple, que 0,6, $$\frac{6}{10}$$, $$\frac{3}{5}$$ et 60 % représentent tous la même partie d’un tout. Amenez les élèves à trouver d’autres combinaisons équivalentes. Soulignez l’importance de se référer à un même tout lorsqu’on compare des nombres décimaux, des fractions et des pourcentages (p. ex., 50 % d’un mètre n’est pas la même chose que 50 % d’un tableau blanc).