C1. Suites et relations
Contenus d’apprentissage
Suites
C1.1
reconnaître et décrire des suites à motif répété ainsi que des suites croissantes et des suites décroissantes, y compris des suites trouvées dans la vie quotidienne.
- Suites à motif répété trouvées dans la vie quotidienne
- Horloge de 24 heures
- Activités physiques quotidiennes d’échauffement et de récupération
- Routines du matin
- Suites croissantes trouvées dans la vie quotidienne
- Distance parcourue durant une période donnée
- Croissance d’une plante au cours de l’été
- Nombre de pages d’un livre lues durant une semaine
- Suites décroissantes trouvées dans la vie quotidienne
- Hauteurs atteintes par une balle qui rebondit successivement
- Ébullition de la sève pour faire du sirop d’érable
- Hauteur d’un bonhomme de neige pendant une belle journée de printemps
- Les suites à motif répété ont un motif de base qui se répète de façon uniforme.
- Dans les suites croissantes, le nombre d’éléments dans un terme augmente à chaque rang.
- Dans les suites décroissantes, le nombre d’éléments dans un terme diminue à chaque rang.
- Des suites à motif répété et des suites croissantes se retrouvent dans de nombreux objets et situations de la vie quotidienne.
Remarque(s) :
- Les suites croissantes et les suites décroissantes ne sont pas toutes des suites linéaires.
Demandez aux élèves de trouver des photos ou d’illustrer des suites dans des situations de la vie quotidienne, puis d’en faire une murale. Demandez-leur de décrire les régularités qu’elles et ils voient dans les suites. Les exemples tirés de la vie quotidienne peuvent être envisagés de plus d’une façon. Par exemple, un escalier peut être perçu comme une suite à motif répété puisque la hauteur de chaque marche est la même. L’escalier peut aussi être perçu comme une suite croissante, car les marches ont toutes la même hauteur et la distance du sol augmente uniformément en montant. La distance diminue uniformément en descendant.
C1.2
créer des suites croissantes et des suites décroissantes, à l’aide d’une variété de représentations, y compris des tables de valeurs et des représentations graphiques, et établir des liens entre les différentes représentations.
- Représentations d’une suite croissante
- Représentations d’une suite décroissante
- Les suites croissantes sont créées par l’augmentation du nombre d’éléments dans chaque terme à chaque rang.
- Les suites décroissantes sont créées par la diminution du nombre d’éléments dans chaque terme à chaque rang.
- Des suites peuvent être représentées par des points sur un plan cartésien dont l’axe horizontal indique soit le numéro du motif de base dans une suite à motif répété, soit le rang du terme dans une suite croissante ou décroissante, et l’axe vertical indique soit le nombre de termes dans une suite à motif répété, soit le nombre d’éléments dans le terme dans le cas d’une suite croissante ou décroissante.
- Une table de valeurs présente des couples de nombres entre lesquels il existe une relation.
- La comparaison des différentes représentations d’une même suite met l’accent sur la structure mathématique de la suite.
Remarque(s) :
- Les suites croissantes et les suites décroissantes ne sont pas toutes des suites linéaires.
- Pour (x, y), la valeur de x est la variable indépendante et la valeur de y est la variable dépendante.
Présentez aux élèves une suite à motif répété, telle que celle ci-dessous, dont le motif de base est constitué de 3 carreaux de couleurs différentes.
Demandez-leur d’utiliser ce motif de base pour créer une représentation concrète qui illustre l’augmentation du nombre de carreaux pour chaque motif de base supplémentaire. Par exemple :
Ensuite, demandez aux élèves de créer une table de valeurs et une représentation graphique pour cette suite. Encouragez-les à établir des liens entre toutes ces représentations et à expliquer leur raisonnement.
Demandez aux élèves de créer une suite croissante et une suite décroissante à l’aide de carreaux puis d’échanger leurs suites avec un camarade de classe. Demandez ensuite à chaque élève de chaque dyade de créer des tables de valeurs et des représentations graphiques correspondantes pour représenter les suites de leur camarade. Une fois que les élèves ont accompli ces tâches, organisez galerie des stratégies et demandez aux élèves de se donner mutuellement une rétroaction sur celles-ci.
- Prolonger des suites dans plusieurs directions
- À quoi ressemble la figure au rang 0? À quoi ressemble la figure au rang 5?
- Faire des prédictions proches et lointaines
- Combien de cure-dents faudrait-il pour construire la figure au rang 0?
- Combien de cure-dents faudrait-il pour construire la figure au rang 10?
- Combien de cure-dents faudrait-il pour construire la figure au rang 100? 99? 101?
- Trouver des figures manquantes, des nombres manquants dans des suites numériques et des tables de valeurs ainsi que des points manquants dans une représentation graphique
Rang de la figure | Nombre de cure-dents |
1 | 4 |
2 | 7 |
3 | |
4 | |
5 | 16 |
6 | |
7 | 22 |
- Les suites peuvent être prolongées en identifiant la régularité de chacune.
- Pour prolonger des suites, faire des prédictions ou trouver les termes manquants, les élèves doivent faire des généralisations au sujet des suites à l’aide de règles. Le processus de généralisation permet également de proposer et de vérifier des conjectures ainsi que de faire une analyse critique des solutions concernant les termes manquants.
- Les règles sont utilisées pour faire et vérifier des prédictions, pour analyser la relation entre le rang, le terme ou la figure, ainsi que pour déterminer des termes manquants.
- Faire une prédiction proche consiste à indiquer ou à représenter à quoi ressembleront les prochains termes d’une suite donnée. La prédiction peut être vérifiée simplement en prolongeant la suite.
- Faire une prédiction lointaine consiste à indiquer ou à représenter à quoi ressemblera une suite bien au-delà d’une suite donnée. Des calculs sont souvent nécessaires pour faire une prédiction juste ou pour vérifier sa vraisemblance.
Remarque(s) :
- La détermination d’un point dans la représentation graphique d’un motif est appelée interpolation.
- La détermination d’un point au-delà de la représentation graphique d’un motif est appelée extrapolation.
Fournissez aux élèves un schéma montrant les quatre premiers termes d’une suite croissante.
Demandez-leur de montrer les figures aux rangs 0 et 5 et d’expliquer la règle qu’elles et ils ont utilisée pour les déterminer. Demandez aux élèves de représenter la suite à l’aide d’une table de valeurs et d’une représentation graphique.
Demandez aux élèves de trouver les éléments manquants et de prolonger les suites décroissantes comme celle qui suit.
Demandez-leur de décrire le changement observé dans les figures, lors du passage d’un rang au suivant.
Demandez aux élèves de faire et de vérifier des prédictions sur des suites représentées de différentes manières. Par exemple :
- Avec une représentation graphique telle que la suivante :
- Demandez aux élèves de représenter la suite à l’aide de carreaux.
- Dites aux élèves de prédire le nombre de carreaux nécessaires pour le rang 6. Invitez-les à vérifier leur prédiction. (Elles et ils peuvent soit prolonger leur suite de carreaux, soit la représentation graphique.)
- Demandez aux élèves s’il est possible de construire un terme de cette suite qui comporte exactement 36 carreaux et d’expliquer leur raisonnement.
- Avec une représentation concrète telle que la suivante :
- Proposez aux élèves de déterminer et de décrire le motif de base.
- Demandez aux élèves d’imaginer qu’elles et ils doivent prolonger la suite pour qu’elle comporte 10 itérations du motif de base. Que serait :
- Le nombre total d’hexagones jaunes nécessaires?
- Le nombre total de triangles verts nécessaires?
- Le nombre total de carrés bleus nécessaires?
- Demandez aux élèves de justifier leurs réponses.
Le fait de fournir aux élèves différents types de représentations de suites avec des éléments manquants leur permet de réfléchir de manière critique aux règles possibles pour décrire les suites sur la base des renseignements qui leur sont fournis. Par exemple, demandez aux élèves de compléter les nombres manquants de carreaux dans une table de valeurs telle que la suivante :
Rang de la figure | Nombre de carreaux |
1 | 3 |
2 | |
3 | |
4 | 12 |
5 | 15 |
6 |
Proposez la situation suivante aux élèves. Un centre communautaire a des tables en forme d’hexagone placées pour des événements comme indiqué ci-dessous. Il y a suffisamment d’espace dans la salle pour mettre des rangées de six tables adjacentes. Si plus de places assises sont nécessaires, des rangées supplémentaires doivent être ajoutées.
- Combien de personnes peuvent s’asseoir à quatre tables? À six tables?
- De combien de tables avons-nous besoin pour asseoir 30 personnes? 50 personnes?
C1.4
créer et décrire des suites numériques comprenant des nombres naturels, des nombres décimaux jusqu’aux dixièmes et des nombres décimaux jusqu’aux centièmes, et représenter des relations entre les nombres.
- Créer des séries d’opérations apparentées montrant la relation entre les unités, les dixièmes et les centièmes
3,71 = | 3 unités | + 7 dixièmes | + 1 centième |
3,71 = | 3 unités | + 6 dixièmes | + 11 centièmes |
3,71 = | 3 unités | + 5 dixièmes | + 21 centièmes |
3,71 = | 3 unités | + 4 dixièmes | + 31 centièmes |
3,71 = | 3 unités | + 3 dixièmes | + 41 centièmes |
3,71 = | 3 unités | + 2 dixièmes | + 51 centièmes |
3,71 = | 3 unités | + 1 dixième | + 61 centièmes |
3,71 = | 3 unités | + 0 dixième | + 71 centièmes |
3,71 = | 3 unités | + 7 dixièmes | + 1 centième |
3,71 = | 2 unités | + 17 dixièmes | + 1 centième |
3,71 = | 1 unité | + 27 dixièmes | + 1 centième |
3,71 = | 0 unité | + 37 dixièmes | + 1 centième |
- Créer des séries d’opérations apparentées montrant la relation entre les faits d’addition et de soustraction de 7 centièmes
5,00 + 0,07 = 5,07 | 5,07 − 0,07 = 5,00 |
5,01 + 0,06 = 5,07 | 5,07 − 0,06 = 5,01 |
5,02 + 0,05 = 5,07 | 5,07 − 0,05 = 5,02 |
5,03 + 0,04 = 5,07 | 5,07 − 0,04 = 5,03 |
5,04 + 0,03 = 5,07 | 5,07 − 0,03 = 5,04 |
5,05 + 0,02 = 5,07 | 5,07 − 0,02 = 5,05 |
5,06 + 0,01 = 5,07 | 5,07 − 0,01 = 5,06 |
5,07 + 0,00 = 5,07 | 5,07 − 0,00 = 5,07 |
- Créer des séries d’opérations apparentées montrant la relation entre les faits de multiplication et de division du chiffre 7
7 × 0 = 0 | 7 ÷ 0 = indéfini |
7 × 1 = 7 | 7 ÷ 1 = 7 |
7 × 2 = 14 | 14 ÷ 2 = 7 |
7 × 3 = 21 | 21 ÷ 3 = 7 |
7 × 4 = 28 | 28 ÷ 4 = 7 |
7 × 5 = 35 | 35 ÷ 5 = 7 |
7 × 6 = 42 | 42 ÷ 6 = 7 |
7 × 7 = 49 | 49 ÷ 7 = 7 |
7 × 8 = 56 | 56 ÷ 8 = 7 |
7 × 9 = 63 | 63 ÷ 9 = 7 |
7 × 10 = 70 | 70 ÷ 10 = 7 |
- Le système de base dix comprend de multiples régularités et des suites qui permettent d’approfondir la compréhension des relations entre les nombres.
Remarque(s) :
- Plusieurs séries d’opérations apparentées sont créées, comme les suites, à l’aide des régularités et relations.
Présentez aux élèves une série d’opérations apparentées basée sur la valeur de position. Demandez-leur de continuer la série de toutes les façons possibles en utilisant des unités, des dixièmes et des centièmes. Les élèves pourraient remarquer que lorsqu’il y a une diminution d’un dixième, par exemple, il y a une augmentation de 10 centièmes.
3,71 = | 3 unités | + 7 dixièmes | + 1 centième |
3,71 = | 3 unités | + 6 dixièmes | + 11 centièmes |
3,71 = | 3 unités | + 7 dixièmes | + 1 centième |
3,71 = | 2 unités | + 17 dixièmes | + 1 centièmes |
Cherchez des occasions pour amener les élèves à créer leurs propres séries d’opérations apparentées dans le but d’illustrer un concept mathématique. Par exemple, elles et ils peuvent montrer comment la connaissance des faits d’addition et de soustraction de 7 peut être réinvestie lorsqu’on travaille avec des centièmes, ou elles et ils peuvent montrer la relation entre la multiplication et la division par 7.
7 × 0 = 0 | 7 ÷ 0 = indéfini |
7 × 1 = 7 | 7 ÷ 1 = 7 |
7 × 2 = 14 | 14 ÷ 2 = 7 |
7 × 3 = 21 | 21 ÷ 3 = 7 |
7 × 4 = 28 | 28 ÷ 4 = 7 |
7 × 5 = 35 | 35 ÷ 5 = 7 |
7 × 6 = 42 | 42 ÷ 6 = 7 |
7 × 7 = 49 | 49 ÷ 7 = 7 |
7 × 8 = 56 | 56 ÷ 8 = 7 |
7 × 9 = 63 | 63 ÷ 9 = 7 |
7 × 10 = 70 | 70 ÷ 10 = 7 |
Proposez aux élèves de créer un nombre à quatre chiffres ayant deux décimales. Invitez-les à cacher leur nombre à l’aide de jetons sur un tableau de numération de Gattegno. Demandez maintenant aux élèves :
- de multiplier leurs nombres par 10 et de déplacer les jetons pour représenter les nouveaux nombres (chaque jeton monte d’une rangée, mais reste dans la même colonne);
- de prédire ce qui se passerait si elles et ils multipliaient à nouveau leur nombre par 10;
- de vérifier leur prédiction et de déplacer leurs jetons vers la nouvelle position;
- de déterminer comment elles et ils peuvent remettre leurs jetons dans leur position initiale en utilisant la division;
- de déplacer leurs jetons sur deux rangées vers le haut en utilisant la division.
Continuez à demander aux élèves d’explorer les séries de multiplication (et de division) par 10, 100 et 1 000 et par 0,1 et 0,01 et amenez-les à formuler des généralisations sur les résultats.
Demandez aux élèves d’utiliser le tableau et les règles suivantes pour obtenir 80 de toutes les façons possibles.
- Utiliser un nombre de la colonne A.
- Utiliser une opération de la colonne B.
- Utiliser un nombre de la colonne C.
A | B | C |
0,8 |
× ÷ |
0,01 |
8 | 0,10 | |
80 | 1 | |
800 | 10 | |
8000 | 100 | |
80000 | 1000 |