C1. Suites et relations
Contenus d’apprentissage
Suites
C1.1
reconnaître et décrire des suites à motif répété ainsi que des suites croissantes et des suites décroissantes, y compris celles trouvées dans la vie quotidienne, et déterminer lesquelles sont des suites croissantes linéaires.
- Suite croissante linéaire
- Exemple A
- Commence avec trois carreaux au rang 1 (constante) et augmente de quatre carreaux à chaque rang suivant
- Exemple A
- Exemple B
- Commence avec quatre carreaux au rang 1 (constante) et augmente de trois carreaux dans chaque rang suivant
- Suite croissante non linéaire
- Commence avec trois carreaux au rang 1 et la quantité de carreaux ajoutée change à chaque rang suivant
- Les suites à motif répété ont un motif de base qui se répète de façon uniforme.
- Dans les suites non numériques ou numériques croissantes, le nombre d’éléments dans un terme augmente à chaque rang. Certaines suites croissantes sont linéaires, car elles augmentent à un taux de variation constant.
- Les suites croissantes linéaires peuvent être tracées sous forme de ligne droite dans un diagramme.
- Dans les suites non numériques ou numériques décroissantes, le nombre d’éléments d’un terme diminue d’un terme à l’autre.
Remarque(s) :
- Les suites croissantes et décroissantes ne sont pas toutes des suites linéaires.
Demandez aux élèves de trouver des photos ou d’illustrer des suites dans des situations de la vie quotidienne, puis d’en faire une murale. Demandez-leur de décrire les règles qu’elles et ils voient dans les suites. Amenez les élèves à remarquer que les exemples tirés de la vie quotidienne peuvent être envisagés de plus d’une façon. Par exemple : « Je peux considérer le dépôt d’un dollar dans une banque tous les jours comme une suite répétée. Je peux aussi considérer qu’il s’agit d’une suite croissante, car le montant en banque augmente d’un dollar chaque jour. »
Proposez aux élèves des suites croissantes représentées de différentes manières. Demandez-leur de déterminer si les suites sont des suites linéaires ou non linéaires. Par exemple :
C1.2
créer des suites à motif répété, des suites croissantes et des suites décroissantes à l’aide d’une variété de représentations y compris des tables de valeurs, des représentations graphiques, ainsi que des expressions algébriques et des équations pour des suites croissantes linéaires, et établir des liens entre les différentes représentations.
- Représentations de suites croissantes non linéaires
- Représentations de suites décroissantes linéaires
- Représentations de suites croissantes linéaires
- La structure d’une suite peut être représentée de différentes façons.
- Les suites croissantes sont créées par l’augmentation du nombre d’éléments dans chaque terme à chaque rang.
- Les suites à motif répété sont créées par la répétition de leur motif de base, et la complexité de ces suites peut varier.
- Une suite croissante peut être créée en répétant le motif. Chaque itération montre comment le nombre total d’éléments augmente avec chaque ajout du motif de base.
- Les suites décroissantes sont créées par la diminution du nombre d’éléments dans chaque terme à chaque rang.
- Des suites peuvent être représentées par des points sur un plan cartésien dont l’axe horizontal indique soit le numéro du motif de base dans une suite à motif répété, soit le rang du terme dans une suite croissante ou décroissante, et l’axe vertical indique le nombre de termes dans une suite à motif répété, le nombre d’éléments dans le terme dans le cas d’une suite croissante ou décroissante (la valeur du terme).
- Une suite croissante linéaire peut être représentée à l’aide d’une expression algébrique ou d’une équation pour montrer la relation entre le rang et le nombre d’éléments.
- L’analyse des structures d’une suite croissante linéaire peut fournir un aperçu des différentes équations algébriques qui montrent la relation entre le rang et le nombre d’éléments dans le terme. Par exemple, dans la suite 1, chaque terme peut être considéré comme le rang fois deux plus quatre, ce qui peut être exprimé comme valeur de terme = 2 * (rang) + 4 ou y = 2x + 4. La suite 2 montre que pour cette suite, chaque terme peut également être considéré comme rang +2 + rang +2, ce qui peut être exprimé comme y = x + 2 + x + 2. L’expression pour la suite 2 peut être simplifiée en y = 2x + 4, qui est la même équation que pour la suite 1.
Suite 1
Suite 2
- Une table de valeurs présente des couples de nombres entre lesquels il existe une relation.
- Les expressions algébriques des suites croissantes ayant un taux constant peuvent être déterminées à l’aide de la pensée récursive et de la pensée fonctionnelle.
- Différentes représentations d’une même suite permettent de mieux comprendre la structure mathématique de la suite.
Fournissez aux élèves une table de valeurs représentant une suite croissante linéaire, tel que celle fournie ci-après. Demandez-leur de représenter la suite avec des carreaux de couleur, en soulignant ce qui reste identique et ce qui change d’un rang à l’autre. Une fois que les élèves ont terminé leur représentation concrète de la suite, demandez-leur de la représenter à l’aide d’une représentation graphique.
Rang de la figure | Nombre de carreaux |
0 | 5 |
1 | 8 |
2 | 11 |
3 | 14 |
4 | 17 |
5 | 20 |
6 | 23 |
7 |
26 |
Lors de la consolidation de l’activité, amenez les élèves à reconnaître que :
- la constante de 5 est apparue pour la première fois au rang 0 et reste la même tout au long de la suite.
- Le changement dans la suite est qu’elle augmente de 3 dans chaque rang.
Posez aux élèves des questions telles que :
- À quel rang utilise-t-on 50 carreaux?
- Combien de carreaux seront nécessaires pour construire la figure au 100e rang?
- Quel est le lien entre le rang et le nombre de carreaux?
- Qu’arriverait-il à la suite si le rang 0 avait une valeur de 3?
- Qu’adviendrait-il de la suite si des groupes de 5 étaient ajoutés chaque fois?
- Comment le fait de changer les « groupes de » (le multiplicateur) dans la suite change-t-il la règle de la suite?
Demandez aux élèves de représenter graphiquement les nouvelles suites et de rechercher des liens entre les différentes représentations et suites (p. ex., Qu’est-ce qui est semblable? Qu’est-ce qui est différent?).
Les élèves devraient avoir de nombreuses occasions de créer et de représenter des suites croissantes linéaires et de tester leurs conjectures sur ce qui se passera dans de nouvelles situations. Finalement, après de nombreuses occasions d’apprentissage, amenez les élèves à nommer les caractéristiques d’une suite comme « la constante » et « le multiplicateur ».
Fournissez aux élèves une table de valeurs partielle et désordonnée représentant une suite croissante linéaire, tel que celle fournie ci-après. Demandez-leur de déterminer la relation entre le rang et le terme et d’exprimer cette relation sous la forme d'une expression algébrique qui peut être utilisée pour déterminer n’importe quel terme de la suite. Cette tâche permet aux élèves d’utiliser la pensée fonctionnelle.
Rang | Terme |
1 | 9 |
6 | |
30 | |
37 | |
2 | 16 |
3 | 23 |
7 | 51 |
n |
C1.3
déterminer et utiliser les règles pour prolonger des suites, faire et justifier des prédictions, et trouver les termes manquants dans des suites à motif répété, des suites croissantes et des suites décroissantes, et utiliser les représentations symboliques des règles pour trouver des valeurs inconnues dans des suites croissantes linéaires.
- Prolonger des suites dans plusieurs directions
- À quoi ressemble la figure au rang 0? À quoi ressemble la figure au rang 5?
- Prédire des termes proches et lointains
- Combien de carreaux faudrait-il pour construire la figure au 0?
- Combien de carreaux faudrait-il pour construire la figure au rang 10?
- Combien de carreaux faudrait-il pour construire la figure aux rangs 100? 99? 101?
- Trouver des figures manquantes, des nombres manquants dans des suites et des tables de valeurs ainsi que des points manquants dans une représentation graphique
- Utiliser les représentations symboliques des règles comme n = 3r, où n représente le nombre de carreaux et r représente le rang pour trouver des valeurs inconnues dans des suites.
- Combien de carreaux se trouvent dans la figure au rang 10?
n = 3r
n = 3 × 10
n = 30
- Les suites peuvent être prolongées en identifiant la régularité ou la règle de chacune.
- Les règles sont des généralisations et elles peuvent être décrites avec des mots.
- Pour prolonger des suites, faire des prédictions ou trouver les termes manquants, les élèves doivent faire des généralisations au sujet des suites à l’aide de règles. Le processus de généralisation permet également de proposer et vérifier des conjectures ainsi que de faire une analyse critique des solutions concernant les termes manquants.
- Faire une prédiction proche consiste à indiquer ou à représenter à quoi ressembleront les prochains termes d’une suite donnée. La prédiction peut être vérifiée simplement en prolongeant la suite.
- Faire une prédiction lointaine consiste à indiquer ou à représenter à quoi ressemblera une suite bien au-delà d’une suite donnée. Des calculs sont souvent nécessaires pour faire une prédiction juste ou pour vérifier sa vraisemblance.
Remarque(s) :
- La détermination d’un point dans la représentation graphique d’un motif est appelée interpolation.
- La détermination d’un point au-delà de la représentation graphique d’un motif est appelée extrapolation.
Demandez aux élèves de prolonger des suites à l’aide de différentes représentations. Par exemple :
- Prolongez la représentation graphique pour montrer le nombre de carreaux de la figure au rang 5 :
- Prolongez la table de valeurs pour montrer le nombre de carreaux des figures aux rangs 5, 6, 10 et n :
Rang de la figure | Nombre de carreaux |
1 | 2 |
2 | 5 |
3 | 8 |
4 | 11 |
Demandez aux élèves de formuler des prédictions sur des suites et de les vérifier afin de découvrir le rôle des règles dans la généralisation des suites représentées de différentes manières. Par exemple, demandez-leur de prédire, dans la suite ci-après, quelle sera la somme totale en banque le 13e jour, puis de vérifier leur prédiction. Les élèves peuvent interpréter les montants en dollars comme étant soit le montant du dépôt, soit la somme d’argent dans la banque ce jour-là.
Proposez aux élèves différentes suites représentées dans des tables de valeurs avec des éléments manquants, comme celui ci-après, et demandez-leur :
- de déterminer les termes manquants; par exemple, trouvez le terme aux rangs 0 et 20?
- de déterminer les rangs manquants; par exemple, trouvez le rang qui correspond au terme 11? Et le rang qui correspond au terme 95?
Rang | Terme |
0 | |
1 | 8 |
11 | |
3 | 14 |
4 | 17 |
20 | |
95 |
C1.4
créer et décrire des suites numériques comprenant des nombres naturels et des nombres décimaux, et représenter des relations entre ces nombres.
- Créer des séries d’opérations apparentées pour montrer la relation entre les unités, les dixièmes, les centièmes et les millièmes
3,271 = | + 3 unités | + 2 dixièmes | + 7 centièmes | + 1 millième |
3,271 = | + 3 unités | + 2 dixièmes | + 6 centièmes | + 11 millièmes |
3,271 = | + 3 unités | + 2 dixièmes | + 5 centièmes | + 21 millièmes |
3,271 = | + 3 unités | + 2 dixièmes | + 4 centièmes | + 31 millièmes |
3,271 = | + 3 unités | + 2 dixièmes | + 3 centièmes | + 41 millièmes |
3,271 = | + 3 unités | + 2 dixièmes | + 2 centièmes | + 51 millièmes |
3,271 = | + 3 unités | + 2 dixièmes | + 1 centième | + 61 millièmes |
3,271 = | + 3 unités | + 2 dixièmes | + 0 centième | + 71 millièmes |
3,271 = | + 3 unités | + 2 dixièmes | + 7 centièmes | + 1 millième |
3,271 = | + 3 unités | + 1 dixième | + 17 centièmes | + 1 millième |
3,271 = | + 3 unités | + 0 dixième | + 27 centièmes | + 1 millième |
etc. |
- Créer des suites numériques pour montrer la relation entre les faits d’addition et de soustraction de 7 lorsqu’appliquer aux millièmes
5,000 + 0,007 = 5,007 | 5,007− 0,007 = 5,000 |
5,001 + 0,006 = 5,007 | 5,007− 0,006 = 5,001 |
5,002 + 0,005 = 5,007 | 5,007− 0,005 = 5,002 |
5,003 + 0,004 = 5,007 | 5,007− 0,004 = 5,003 |
5,004 + 0,003 = 5,007 | 5,007− 0,003 = 5,004 |
5,005 + 0,002 = 5,007 | 5,007− 0,002 = 5,005 |
5,006 + 0,001 = 5,007 | 5,007− 0,001 = 5,006 |
5,007 + 0,000 = 5,007 | 5,007− 0,000 = 5,007 |
- Le système de base dix comprend de multiples régularités et des suites qui permettent d’approfondir la compréhension des relations entre les nombres.
Remarque(s) :
- Plusieurs séries d’opérations apparentées sont créées, comme les suites, à l’aide des régularités et relations. L’analyse de ces relations permet d’approfondir la compréhension de concepts mathématiques.
Présentez aux élèves une série partielle de suites numériques basée sur un concept mathématique clé, comme la valeur de position. Demandez-leur de continuer la série de toutes les façons qu’il leur est possible en utilisant des unités, des dixièmes, des centièmes et des millièmes. Les élèves pourraient remarquer, par exemple, que lorsqu’il y a une diminution d’un centième, il y a une augmentation de 10 millièmes.
3,271 = | + 3 unités | + 2 dixièmes | + 7 centièmes | + 1 millième |
3,271 = | + 3 unités | + 2 dixièmes | + 6 centièmes | + 11 millièmes |
3,271 = | + 2 dixièmes | + 5 centièmes | ||
3,271 = | + 3 unités | + 31 millièmes | ||
3,271 = | ||||
3,271 = | ||||
3,271 = | ||||
3,271 = | ||||
Demandez aux élèves de créer un nombre à quatre chiffres ayant trois décimales. Demandez-leur de couvrir leur nombre à l’aide d’un jeton sur un tableau de numération de Gattegno. Puis, demandez aux élèves :
- de multiplier leur nombre par 100 et de déplacer le jeton pour représenter le nouveau nombre (chaque jeton monte de deux rangées, mais reste dans la même colonne);
- de prédire ce qui se passerait si elles et ils multipliaient à nouveau leur nombre par 100;
- de vérifier leur prédiction et de déplacer leur jeton vers la nouvelle position;
- de déterminer comment elles et ils peuvent remettre leur jeton à la position initiale en utilisant la division;
- de déplacer leur jeton sur deux rangées vers le haut en utilisant la division.
Continuez à demander aux élèves d’explorer les régularités lors de multiplication (et de division) par 10, 100, 1 000 et 10 000 et par 0,1, 0,01 et 0,001 et amenez-les à faire des généralisations sur les résultats.