C2. Équations et inégalités
Contenus d’apprentissage
Variables et expressions
C2.1
additionner et soustraire des monômes du premier degré comprenant des nombres naturels, à l’aide d’outils.
- Représenter l’addition de monômes
- Représenter l’addition à l’aide de mosaïques géométriques
- Représenter la soustraction à l’aide de carreaux algébriques et comparer les deux expressions
- 5x − 2x = ?
- Un monôme du premier degré comprend une variable à l’exposant 1. Par exemple, dans le monôme 2m, l’exposant de m est 1. Quand l’exposant n’est pas mentionné, il est convenu qu’il s’agit de l’exposant 1.
- Seuls les monômes du premier degré avec des variables semblables, comme 3m et 2m, peuvent être additionnés ou soustraits. Les représentations concrètes et visuelles sont essentielles pour favoriser la compréhension de ce concept.
Remarque(s) :
- Des exemples de monômes du deuxième degré sont x2 et xy. La raison pour laquelle xy est un monôme du deuxième degré est que x et y ont tous deux un exposant de 1. Le degré du monôme est déterminé par la somme de tous les exposants de ses variables.
Invitez les élèves à créer un motif ou une image en se servant de deux types de mosaïques géométriques. Demandez-leur par la suite de déterminer le nombre de mosaïques géométriques de chaque type dans leur création. Invitez-les à écrire une expression algébrique dont chaque variable représente le coût d’un type de mosaïque utilisée. La forme ci-dessous est composée de 4 hexagones jaunes et 24 trapèzes rouges. L’expression algébrique 4h + 24t représente le coût, h désignant le coût d’un hexagone, et t, celui d’un trapèze.
Invitez les élèves à utiliser des mosaïques géométriques ou des carreaux algébriques pour représenter l’ajout ou la soustraction de divers monômes. Il est important que les élèves voient qu’il est possible d’ajouter ou de soustraire uniquement des éléments similaires. Par exemple, seuls les hexagones jaunes peuvent être combinés à d’autres hexagones jaunes, et seuls les trapèzes rouges peuvent être combinés à d’autres trapèzes rouges.
Mettez les élèves au défi de créer un motif représentant une soustraction. Par exemple, le rouliplanchiste dans le modèle ci-dessous peut devenir un piéton si on retire la planche à roulettes.
- Rouliplanchiste : 4r + 5v + 2m + 11b + 4j
- Piéton : 4r + 5v + 2m + 11b + 4j − 7b - 2j
- = 4r + 5v + 2m + 11b − 7b + 4j − 2j
= 4r + 5v + 2m + 4b + 2j- Où r = trapèze rouge, v = triangle vert, m = carré mauve, b = losange bleu, et j = hexagone jaune
C2.2
évaluer des expressions algébriques qui comprennent des nombres naturels et des nombres décimaux.
- Expressions algébriques
- 2L + 2l
- bh
- bh ÷ 2 ou $$\frac{b h}{2}$$
- $$\left(\frac{a+b}{2}\right) h$$
- Llh
- πr2
- 2πr
- πd
- 3m + 2n - 1
- Évaluation d’expressions
- 35h représente le coût des hexagones.
- si 1h = 0,75 $,
- alors 35h = 35(0,75)
- = 26,25 $
- 35h représente le coût des hexagones.
- Évaluation d’expressions dans des formules
- Le volume d’un cube = c3
- Si la longueur d’un côté d’un cube (c) = 5 cm
- c3 = (5)3
- = 5 × 5 × 5
- = 125 cm3
- Si la longueur d’un côté d’un cube (c) = 5 cm
- Le volume d’un cube = c3
- Pour évaluer une expression algébrique, il faut remplacer les variables par des valeurs numériques et faire les calculs selon la priorité des opérations.
Remarque(s) :
- Lorsque les élèves travaillent avec des formules, elles et ils évaluent des expressions.
- Substituer des variables par des valeurs numériques nécessite souvent l’utilisation de parenthèses. Par exemple, l’expression 4,5m devient 4,5 (m) puis 4,5 (7) lorsque m = 7. L’opération entre 4,5 et 7 est considérée comme une multiplication.
Demandez aux élèves d’évaluer les expressions algébriques associées au motif de carreaux ou à l’image qu’elles et ils ont créés pour l’exemple de tâches 1 de C2.1, lorsqu’on leur donne une valeur à chaque mosaïque géométrique; par exemple, les hexagones coûtent 1,75 $ chacun et les trapèzes 1,30 $ chacun.
Les formules comprennent des expressions algébriques. Par exemple, il est possible de déterminer l’aire d’un disque à l’aide de l’expression algébrique πr2, dans laquelle r correspond au rayon. Demandez aux élèves d’évaluer diverses formules, y compris celles utilisées pour le domaine E : Sens de l’espace.
Relations d’égalité et inégalité
C2.3
résoudre des équations qui comprennent des termes multiples, des nombres naturels et des nombres décimaux, dans divers contextes, et vérifier les solutions.
- Équations comprenant une seule variable
- 5m + 3m = 10 + 6
- 10 - 6 = 5x − 3x
- 3,2d = 7,3 + 5,5
- 14,5 − 1,5 = 6,5h
- Une équation est un énoncé mathématique dans lequel les expressions de chaque côté du signe d’égalité sont équivalentes.
- Dans les équations, les symboles sont utilisés pour représenter des quantités inconnues.
- Il existe de nombreuses stratégies pour résoudre les équations, y compris par essais systématiques, le modèle de balance et le logigramme inversé.
- La résolution d’une équation par essais systématiques est un procédé itératif visant à estimer la valeur inconnue, puis à vérifier l’estimation. Selon le résultat de l’essai, l’estimation est rajustée pour obtenir un résultat plus proche de la valeur réelle.
- Pour résoudre une équation à l’aide d’un modèle de balance, il faut représenter les expressions visuellement et les manipuler jusqu’à ce qu’elles soient équivalentes.
- Un logigramme est une stratégie pouvant servir à résoudre des équations comme $$\frac{m}{4}$$ - 2.1 = 10,4. Le premier logigramme illustre le déroulement des opérations appliquées à la variable pour obtenir le résultat. Le deuxième logigramme montre le déroulement des opérations inverses pour permettre de trouver la valeur de la variable.
- Une équation comprenant de multiples termes peut être simplifiée avant sa résolution.
Présentez aux élèves des équations dont la résolution nécessite de soustraire des monômes du premier degré comprenant des nombres naturels (p. ex., 5m − 3m = 16). Après avoir simplifié l’équation, les élèves peuvent trouver la valeur inconnue de diverses façons. Il est important que les élèves vérifient également leur réponse en remplaçant la valeur dans l’équation et en s’assurant que les deux côtés de l’équation sont toujours égaux. Par exemple, elles et ils pourraient utiliser la structure MG/MD (membre de gauche/membre de droite), en substituant leur solution dans l’équation d’origine, puis en évaluant chaque côté indépendamment. Si MG = MD, la solution est correcte. Si MG n’est pas égal à MD, alors la solution est incorrecte. Dans l’exemple ci-dessous, l’élève a déterminé que la solution est m = 8.
Demandez aux élèves de résoudre des équations comprenant des nombres décimaux, par exemple, de déterminer la longueur d’un rectangle arrondie au dixième près en sachant que son aire est de 42,5 cm2, et sa largeur de 3,2 cm.
C2.4
résoudre des inégalités qui comprennent des termes multiples et des nombres naturels, et vérifier et présenter les solutions à l’aide de modèles et de représentations graphiques.
- Inégalités et solutions
- 5x + 3x ≥ 10 + 6
- « Quelle est la variable que je dois trouver? »
- x
- « Combien de x y a-t-il? »
- 8x ou (5x + 3x)
- « Quels sont les autres éléments que je connais? »
- 8x ≥ 16
- « Si 8x = 16, alors combien vaut chaque x? »
- « Je sais que 8 × 1 = 8, donc ça ne fonctionne pas. »
- « Si x = 2, alors 8 × 2 = 16. 16 est égal à 16, alors oui, ça fonctionne. »
- « Si x = 3, alors 8 × 3 = 24. 24 est plus grand que 16, alors oui, ça fonctionne également. »
- « Donc, je sais que la solution doit être 2 et plus. »
- x ≥ 2 :
- « Quelle est la variable que je dois trouver? »
- 5x + 3x ≥ 10 + 6
- 14 - 6 > 5m - 3m
- « Quelle est la variable que je dois trouver? »
- m
- « Combien de m y a-t-il? »
- 2m ou (5m − 3m)
- « Quels sont les autres éléments que je connais? »
- 8 > 2m
- « Si je sais que 8 > 2m, je sais aussi que 2m < 8. Je trouve ça plus facile de cette façon. »
- « Si 2m < 8, alors combien vaut chaque m? »
- « Je sais que 2 × 4 = 8, alors je vais essayer avec des nombres qui sont plus grands et plus petits que 4. »
- « Si m = 3, 2 × 3 = 6, ce qui est inférieur à 8, donc ça fonctionne. »
- « Si m = 5, 2 × 5 =10, ce qui n’est pas inférieur à 8. Donc, non, ça ne fonctionne pas. »
- « Donc la solution doit être inférieure à 4 et ne pas inclure 4. »
- m < 4
- « Quelle est la variable que je dois trouver? »
- Les droites numériques aident les élèves à comprendre l’intervalle des valeurs valides dans une situation d’inégalité.
- Sur une droite numérique, un point vide indique une relation d’inégalité (« est inférieur à » ou « est supérieur à »); un point plein indique une relation d’inégalité (« est inférieur ou égal à » ou « est supérieur ou égal à »).
Remarque(s) :
- La solution d’une inégalité qui a une variable, telle que 2x + 3 < 9, peut être représentée graphiquement sur une droite numérique.
- La solution pour une inégalité qui a deux variables, telles que x + y < 4, peut être représentée graphiquement sur un plan cartésien.
Demandez aux élèves de simplifier des expressions algébriques. Par exemple :
- 3p + 2 + 5p
- 10h − h − 7
- 9 + 8t + 2
- 15 − 9m + 2 − 3m
Demandez aux élèves de trouver leurs propres expressions algébriques à simplifier et à échanger en petit groupe ou à utiliser comme activité préparatoire pour d’autres leçons.
Demandez aux élèves de résoudre diverses inégalités en simplifiant les termes semblables et en représentant leurs solutions sur une droite numérique. Par exemple :
- 5x + 3x ≥ 10 + 6
- 14 − 6 > 5m − 3m
- 5x + 3 > 3x + 5
- 12 − 3x < 4x − 2
Une stratégie possible pour résoudre des inégalités est de d’abord résoudre l’inégalité à la manière d’une égalité, puis de tester les nombres supérieurs et inférieurs à la valeur afin de déterminer les nombres qui s’inscrivent dans la solution. Insistez auprès des élèves sur la bonne utilisation des cercles fermés ou ouverts pour la représentation des solutions. Par exemple :
- m < 4
Demandez aux élèves de trouver leurs propres inégalités à résoudre et à discuter en petits groupes, ou à utiliser comme activité préparatoire pour d’autres leçons.
