B1. Sens du nombre
Contenus d’apprentissage
Nombres rationnels et irrationnels
B1.1
représenter et comparer de très grands nombres et de très petits nombres, y compris à l’aide de la notation scientifique, et décrire de quelles façons ils sont utilisés dans la vie quotidienne.
- Représenter un nombre en notation scientifique
- 1 million = 1 000 000 = 1,0 × 106
- 1 millionième = 0,000 001 = 1,0 × 10-6
- 2,4 milliards = 2 400 000 000 = 2,4 × 109
- 2,4 milliardièmes = 0,000 000 002 4 = 2,4 × 10-9
- 3,05 billions = 3 050 000 000 000 = 3,05 × 1012
- 3,05 billionièmes = 0,000 000 000 003 05 = 3,05 × 10-12
- Comparer les nombres
- Trouver le plus grand nombre
- 1,5 x 103 est plus grand que 1,5 × 102 (comparer les exposants, car les nombres décimaux sont identiques)
- 1,5 x 103 est plus grand que 1,4 × 103 (comparer les nombres décimaux puisque les exposants sont identiques)
- Comparer les nombres à zéro
- 3,05 billionièmes est plus proche de zéro que 3,05 billions, tout comme un dixième est plus proche de zéro que dix
- Comparer les nombres de manière absolue
- 1 million dépasse 1 millionième de 999 999,999 999; c.-à-d. que 1 000 000 – 0,000 001 = 999 999,999 999
- Comparer les nombres de manière relative
- 1 million par rapport à 1 millionième = 1 000 000 : 0,000 001
- 1 000 000 000 000 : 1 (multiplier les deux côtés par 1 000 000), de sorte que 1 million est 1 billion de fois plus grand que 1 millionième
- Trouver le plus grand nombre
- La lecture des nombres permet de les interpréter comme des quantités lorsqu’ils sont exprimés en mots ou en chiffres, ou à l’aide de la forme développée. Les grands nombres peuvent être exprimés sous forme de nombres décimaux en exprimant la valeur de position en mots. Par exemple, 36,24 billions, ce qui équivaut à 36 240 000 000 000 = 36,24 × 1012.
- Les chiffres de 0 à 9 sont utilisés pour former des nombres et chaque chiffre correspond à une valeur de position.
- 1 milliard est équivalent à 1 000 millions, et 1 billion est équivalent à 1 000 milliards ou 1 million de millions. Après les billions viennent les billiards, les trillions, les trilliards, les quadrillions, les quadrilliards, les quintillions, les quintilliards, etc. Chaque tranche est 1 000 fois plus grande que la précédente.
- Pour qu’un nombre soit exprimé en notation scientifique, il n’y a qu’un seul chiffre autre que zéro à gauche de la virgule décimale. En notation scientifique, 36 240 000 000 000 s’écrit 3,624 x 1013; 36,24 × 1012 n’est pas écrit en notation scientifique, car il y a deux chiffres à gauche de la virgule décimale.
- L’ordre de grandeur d’un grand nombre peut être compris en le comparant à d’autres nombres et quantités. Par exemple :
- 1 billion de secondes correspond à environ 32 000 ans;
- 1 million de secondes correspond à environ 11,5 jours;
- 1 milliard de secondes correspond à environ 32 ans.
- Les nombres qui se comptent par millions et plus peuvent s’écrire de différentes manières.
- En mots, 37 020 005 205 s’écrit et se lit « trente-sept milliards vingt millions cinq mille deux cent cinq ».
- Lorsque les grands nombres sont écrits, ils sont parfois arrondis et peuvent être exprimés en utilisant une combinaison de nombres et de mots (p. ex., 37 020 005 205 devient 37 milliards).
- Les nombres décimaux sont utilisés pour donner plus de précision à un nombre arrondi. Ainsi, le nombre 37 020 005 205 pourrait s’écrire 37,02 milliards.
- Parfois, dans les diagrammes et les tableaux, l’unité représente des milliers. Ainsi, le nombre 7,238 milliards pourrait être représenté par 7 238 millions.
- La notation scientifique utilise la multiplication et les puissances de dix pour représenter de très grands nombres de façon succincte. Un seul chiffre, autre que zéro, est placé après la virgule, et des puissances de dix sont utilisées pour maintenir l’équivalence de la valeur.
- 57 000 s’écrit 5,7 × 104 et signifie 5,7 × 10 × 10 × 10 × 10;
- 37 milliards s’écrit 3,7 × 1010;
- 21 465 billions s’écrit 2,1465 × 1013.
- La notation scientifique permet également de représenter de très petits nombres, par exemple des nombres décimaux négatifs, en utilisant des exposants négatifs.
- Si un exposant positif indique combien de fois il faut multiplier une base par 10, un exposant négatif indique combien de fois il faut diviser une base par 10.
- Par exemple, la lumière se déplace d’un kilomètre chaque 0,000 003 seconde, ou chaque 3 millionièmes de seconde. En notation scientifique, ce nombre s’écrit 3 × 10-6 et signifie 3 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10.
- Les nombres exprimés en notation scientifique peuvent être comparés en considérant le nombre de fois que le nombre décimal est multiplié ou divisé par dix. Plus il est multiplié par dix, plus le nombre est élevé. Plus il est divisé par dix, plus le nombre est petit.
Remarque(s) :
- Chaque domaine d’étude du programme-cadre de mathématiques s’appuie sur les nombres.
- Les contextes de la vie quotidienne peuvent fournir des occasions de développer une compréhension de l’ordre de grandeur des grands et petits nombres.
- Le nombre 1 en notation scientifique est 1 × 100.
- L’exposant de la base 10, en notation scientifique, indique le nombre de fois où le nombre décimal est multiplié ou divisé par 10, et non le nombre de zéro à inclure pour qu’un nombre soit écrit en notation usuelle.
Demandez aux élèves d’effectuer des recherches sur de très grands nombres et de très petits nombres. Amenez-les à voir comment la notation scientifique peut être utile pour représenter et comparer ces quantités. Par exemple :
- Proposez aux élèves d’effectuer des recherches sur les distances par rapport à diverses planètes, étoiles ou autres objets lointains dans l’univers. Donnez aux élèves l’occasion de s’exercer à écrire et à comparer les nombres en notation scientifique. La distance entre la Terre et Uranus, par exemple, est de 3,10 milliards de km, soit 3 100 000 000 km. Ce nombre peut également s’écrire 3,1 × 109. Insistez sur la « multiplication par dix » du système de nombres, et sur la façon dont la notation scientifique exprime les nombres dans un format plus court et lisible en utilisant des puissances de 10.
- Demandez aux élèves de trouver la distance entre la Terre et deux autres astres et d’exprimer les distances en notation scientifique, puis de calculer combien de fois les deux astres sont éloignés l’un de l’autre. Par exemple, si la distance entre la Terre et la Lune est de 3,84 × 105 km et que la distance entre la Terre et le Soleil est de 1,5 × 108 km, combien de fois le Soleil est-il plus éloigné que la Lune?
- Proposez aux élèves d’effectuer des recherches sur de très petits nombres, comme ceux utilisés en zoologie ou en chimie. Par exemple, un atome fait environ 1 × 10-10 mètre de diamètre. La plus petite distance dans l’univers qui peut être mesurée est la longueur de Planck, qui est de 1,6 × 10-35 mètre. Ce nombre peut aussi s’écrire 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 016 mètre. Invitez les élèves à trouver d’autres très petits nombres et à les exprimer en utilisant la notation scientifique.
Donnez aux élèves un tableau comme celui qui suit. Demandez-leur de le remplir, en prenant note de la régularité des exposants et de la régularité dans la forme usuelle des puissances de 10. Amenez les élèves à voir la suite décroissante dans les exposants qui conduit à des exposants négatifs ainsi que la relation entre la forme usuelle et la puissance de 10.
Forme usuelle | Puissance de 10 | Signification |
1 000 | 103 | 1 × 10 × 10 x 10 |
100 | ||
101 | 1 × 10 | |
1 | 1 | |
0,1 | 1 ÷ 10 | |
0,01 | 10-2 |
B1.2
décrire, comparer et ordonner des nombres de l’ensemble des nombres réels (rationnels et irrationnels), séparément et en les combinant, dans divers contextes.
- Ensemble des nombres réels, R, regroupant les nombres rationnels et irrationnels
- Q, nombres rationnels
- 4; $$\frac{2}{3}$$; 0,5; 0; $$1,\overline{6}$$; −5; −$$\frac{9}{2}$$
- $$\bar{Q}$$, nombres irrationnels
- π; $$\sqrt{2}$$; 4,515 515 551 555 515 555 51…
- Z, nombres entiers
- …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- N, nombres naturels
- 0, 1, 2, 3, …
- Q, nombres rationnels
- Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être exprimés sous la forme $$\frac{a}{b}$$, où a et b sont des entiers, et b ≠ 0 (p. ex., $$\frac{−5}{4}$$; $$\frac{3}{6}$$; −7; 0; 205; 45,328).
- Les fractions (positives et négatives) sont des nombres rationnels. Toute fraction peut être exprimée sous forme de nombre à virgule dont la partie décimale est finie ou infinie périodique.
- Les nombres naturels sont des nombres rationnels puisque tout nombre entier peut être exprimé sous forme de fraction (p. ex., 5 = $$\frac{5}{1}$$).
- Les nombres entiers (positifs et négatifs) sont des nombres rationnels puisque tout nombre entier peut être exprimé sous forme de fraction (p. ex., −4 = $$\frac{−4}{1}$$; +8 = $$\frac{8}{1}$$).
- Les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être exprimés sous forme de fraction. Des exemples de nombres irrationnels incluent les nombres à virgule dont la partie décimale est infinie et non périodique (qui ne se répètent jamais et ne se terminent jamais) (p. ex., 3.12122122212222…), pi (π) et les racines carrées de carrés non parfaits (p. ex., $$\sqrt{2}$$).
- Les nombres rationnels et irrationnels peuvent être représentés sous forme de points sur une droite numérique pour montrer leur distance relative par rapport à zéro.
- Plus un nombre se trouve à droite de zéro sur une droite numérique horizontale, plus le nombre est grand.
- Plus un nombre est éloigné à gauche de zéro sur une droite numérique horizontale, plus le nombre est petit.
- Il existe un nombre infini de nombres dans le système de nombres réels.
Remarque(s) :
- Depuis la 1re année, les élèves travaillent avec des fractions positives, qui sont des nombres rationnels. Les fractions négatives sont introduites en 7e et 8e année lorsque les élèves représentent, comparent et ordonnent les fractions négatives. Les élèves effectueront des opérations avec des fractions négatives au palier secondaire.
- En 7e année, les élèves ont été initiés à pi, qui est un nombre irrationnel. Elles et ils peuvent avoir travaillé avec des approximations de pi (3,14 ou $$\frac{22}{7}$$) qui sont des nombres rationnels. En 8e année, les élèves découvrent d’autres types de nombres irrationnels.
- En 8e année, l’objectif est d’aider les élèves à établir des liens entre les différents systèmes de nombres et leur apprentissage des nombres réels au fil des années.
Créez une droite numérique avec une corde à linge (voir l’exemple de tâches 4 de B1.2 en 5e année) et indiquez les extrémités par -10 et +10. Demandez aux élèves d’écrire sur une carte un nombre entier, un nombre décimal, une fraction (nombre fractionnaire) ou nombre irrationnel (p. ex., racine carrée ou ) qui se situe entre les deux extrémités. Invitez-les à lire le nombre sur leur carte et à la placer sur la droite numérique. Demandez-leur de mettre en évidence les équivalences entre les nombres décimaux et les nombres fractionnaires, et d’expliquer les stratégies utilisées pour déterminer la position relative. Amenez les élèves à réfléchir à l’endroit où les nombres irrationnels comme $$\sqrt{2}$$ et $$\pi$$ (3,14159…) devraient aller. Voir le contenu d’apprentissage B1.3 pour savoir comment estimer la valeur d’une racine carrée.
B1.3
estimer et calculer des racines carrées, dans divers contextes.
- Estimer la valeur d’une racine carrée
- $$\sqrt{8}$$ est entre $$\sqrt{4}$$ et $$\sqrt{9}$$
- $$\sqrt{4}$$ = 2
- $$\sqrt{9}$$ = 3
- 2 < $$\sqrt{8}$$ < 3
- Puisque $$\sqrt{8}$$ est plus proche de $$\sqrt{9}$$ que de $$\sqrt{4}$$, alors $$\sqrt{8}$$ est plus proche de 3 que de 2
- $$\sqrt{8}$$ est entre $$\sqrt{4}$$ et $$\sqrt{9}$$
- Calculer une racine carrée (à l’aide d’une calculatrice)
- $$\sqrt{8}$$ = 2,83
- Les carrés et les racines carrées sont des opérations inverses.
- Toutes les racines carrées qui ne sont pas des racines de carrés parfaits sont des nombres irrationnels.
- Le symbole √ désigne la racine carrée positive.
- Selon le contexte, seule la racine carrée positive est appropriée. Par exemple, étant donné l’aire du carré, la longueur de son côté est déterminée en prenant la racine carrée de l’aire. Puisque le côté est une dimension, il est logique de déterminer la racine carrée positive.
- Les racines carrées des carrés non parfaits sont irrationnelles et laissées sous forme radicale (p. ex., $$\sqrt{3}$$) ou une approximation exprimée à l’aide d’un nombre décimal.
- L’estimation des racines carrées des carrés non parfaits implique l’identification des deux carrés parfaits qui en sont les plus proches. Par exemple, $$\sqrt{60}$$ est compris entre $$\sqrt{49}$$ et $$\sqrt{64}$$; on peut déterminer la racine carrée de carrés parfaits, c’est-à-dire $$\sqrt{49}$$ = 7 et $$\sqrt{64}$$ = 8. Ensuite, on peut estimer une valeur de la racine carrée la plus proche. Puisque 60 est plus proche de 64, alors $$\sqrt{60}$$ est d’environ 7,8.
Remarque(s) :
- Une représentation visuelle d’un nombre carré consiste à voir son aire comme le « carré de la longueur de son côté » (côté × côté ou c2).
- Si l’aire du carré est égale à 9, la longueur de son côté est $$\sqrt{9}$$ ou 3.
- 9 est un carré parfait.
- Si l’aire du carré est égale à 5, la longueur de son côté est $$\sqrt{5}$$.
- 5 est un carré imparfait, et un nombre irrationnel, avec une suite décimale infinie et non périodique.
- Les carrés parfaits peuvent être calculés. Les carrés imparfaits ne peuvent qu’être estimés.
- Les calculatrices donnent des approximations de toutes les racines carrées qui ne sont pas des nombres carrés.
Demandez aux élèves d’énumérer tous les nombres carrés entre 1 et 400 (p. ex., 1, 4, 9, 16…). Regroupez les élèves en dyade et demandez-leur de jouer au jeu suivant.
- Chaque élève choisit cinq nombres carrés imparfaits entre 1 et 400.
- Elles et ils inscrivent leurs cinq nombres carrés imparfaits sur la feuille de pointage de leur partenaire, ainsi que les deux nombres carrés parfaits les plus proches (indiqués dans les deux premières colonnes du tableau ci-dessous).
- Le joueur A estime la racine carrée des nombres fournis par le joueur B et vice versa. Chacun note son estimation de la racine carrée (indiquée dans la colonne du milieu).
- Lorsque chaque joueur a terminé ses estimations, elle ou il les compare à la valeur affichée par une calculatrice.
- Chacun inscrit la différence entre la valeur de la calculatrice et son estimation (indiquée dans la cinquième colonne). Le gagnant est le joueur qui a obtenu la plus petite différence.
Demandez aux élèves de partager leurs stratégies d’estimation des racines carrées.
Carré imparfait | Nombres carrés les plus près | Estimation de la racine carrée | Calculatrice | Différence entre l’estimation et le résultat de la calculatrice |
60 | 49 et 64 | 7,8 « Je pense que la racine carrée sera plus proche de 8 que de 7, car 60 est plus proche de 64 que de 49. » |
7,75 | 7,8 – 7,75 = 0,05 |
La relation entre la longueur des côtés des triangles rectangles fournit des contextes naturels pour en savoir plus sur les racines carrées (voir Sens de l’espace, E2.4). Un « triplet pythagoricien » est un ensemble de 3 nombres naturels (excluant 0) qui vérifie la relation a2 + b2 = c2. Le plus petit triplet est 3, 4 et 5. Demandez aux élèves d’utiliser leurs connaissances de la relation entre la longueur des côtés des triangles rectangles pour déterminer trois autres triplets. Encouragez-les à utiliser leur compréhension des racines carrées et des nombres irrationnels pour calculer approximativement la longueur des côtés des triangles rectangles qui ne sont pas des triplets.
Fractions, nombres décimaux et pourcentages
B1.4
utiliser les fractions, les nombres décimaux et les pourcentages, y compris des pourcentages de plus de 100 % et de moins de 1 %, de manière interchangeable et avec souplesse pour résoudre divers problèmes.
- Utiliser les fractions, les nombres décimaux et les pourcentages, selon le contexte
- Le fait de trouver 50 % d’un nombre inconnu revient à trouver $$\frac{1}{2}$$ de celui-ci, ou sous une forme décimale en multipliant par 0,50.
- Si un article est à moitié prix, il peut être plus facile de considérer le coût comme la « moitié du plein prix ».
- S’il y a une réduction de $$\frac{2}{5}$$ sur un article, il serait plus facile de multiplier le prix par 0,4 pour avoir une estimation (déterminer 10 % et ensuite multiplier ce nombre par 4).
- Le fait de trouver 50 % d’un nombre inconnu revient à trouver $$\frac{1}{2}$$ de celui-ci, ou sous une forme décimale en multipliant par 0,50.
- La conversion entre fractions, nombres décimaux et pourcentages rend souvent les calculs et les comparaisons plus faciles à comprendre et à effectuer.
- Les fractions, les nombres décimaux et les pourcentages décrivent des relations avec un tout. Alors que les fractions peuvent utiliser n’importe quel nombre comme dénominateur, les unités décimales sont exprimées par des puissances de dix (p. ex., dixièmes, centièmes) et les pourcentages expriment un taux sur 100 (« pour cent »).
- Les relations de quantités par rapport à un tout peuvent être exprimées sous forme de fraction, de nombre décimal et de pourcentage. Le choix d’utiliser une fraction, un nombre décimal ou un pourcentage peut varier selon le contexte d’un problème.
- Lorsque les fractions sont considérées comme un quotient, le numérateur est divisé par un dénominateur et le résultat est une représentation décimale qui peut être convertie en pourcentage.
- Pour convertir un pourcentage en fraction, il peut d’abord être représenté sur 100, puis une fraction propre équivalente ou un nombre fractionnaire peut être créé. Par exemple, 104,6 % = $$\frac{104,6}{100}$$ = 1$$\frac{46}{1 000}$$ = 1$$\frac{23}{500}$$.
- Certains nombres décimaux, lorsqu’ils sont convertis en pourcentage, donnent un pourcentage entier ou un pourcentage avec une partie décimale (p. ex., 0,15 = 15 %; 0,642 = 64,2 %; 3,425 = 342,5 %).
- Les pourcentages peuvent être des nombres naturels (p. ex., 32 %, 168 %) ou des nombres décimaux (p. ex., 0,5 %; 43,6 %; 108,75 %).
- Les pourcentages peuvent être considérés comme des centièmes.
- Les pourcentages peuvent être composés d’autres pourcentages. Un rabais de 15 % combine un rabais de 10 % et de 5 %. Une taxe de 13 % ajoute 10 % et un autre 3 % (3 × 1 %) à un montant.
- Pour convertir un pourcentage en nombre décimal, le pourcentage est divisé par 100 (p. ex., 35,4 % = 0,354; 0,1 % = 0,001).
- Il existe trois types de situations où interviennent des pourcentages : déterminer le pourcentage qu’une quantité représente par rapport à un tout; trouver le pourcentage d’un nombre; et trouver un nombre alors que le pourcentage qu’il représente est donné.
- Des pourcentages, des fractions et des nombres décimaux les plus courants :
- 150 % = 1$$\frac{1}{2}$$ = 1,50
- 100 % = 1 = 1,00
- 75 % = $$\frac{3}{4}$$ = 0,75
- 50 % = $$\frac{1}{2}$$ = 0,50
- 25 % = $$\frac{1}{4}$$ = 0,25
- 20 % = $$\frac{1}{5}$$ = 0,20
- 10 % = $$\frac{1}{10}$$ = 0,10
- 5 % = $$\frac{1}{20}$$ = 0,05
- 1 % = $$\frac{1}{100}$$ = 0,01
- 0,1 % = $$\frac{1}{1 000}$$ = 0,001
- Les conversions des fractions unitaires peuvent servir à déterminer les conversions à des fractions non unitaires. Par exemple :
- Si $$\frac{1}{4}$$ = 0,25 = 25 %, donc $$\frac{1}{8}$$ = 0,125 = 12,5 % (la moitié d’un quart).
- Si $$\frac{1}{8}$$ = 0,125 = 12,5 %, donc $$\frac{3}{8}$$ = 0,375 = 37,5 % (3 fois $$\frac{1}{8}$$).
Remarque(s) :
- Lorsqu’elles et ils travaillent avec des pourcentages, les élèves peuvent s’exercer avec des fractions plus complexes, y compris des fractions ayant un nombre décimal comme numérateur. Une fraction propre équivalente ou un nombre fractionnaire peut être obtenu en multipliant le numérateur et le dénominateur par le nombre approprié (p. ex., 10, 100, 1 000).
- Plusieurs stratégies peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes impliquant des pourcentages. Par exemple, un manteau est en vente à 25 % de rabais. Le coût du manteau peut être déterminé en trouvant 25 % du prix d’origine, puis en soustrayant ce montant du prix d’origine. Une autre stratégie pourrait être de déterminer 75 % du prix initial.
Demandez aux élèves de travailler de manière souple avec des fractions, des nombres décimaux et des pourcentages pour résoudre le problème suivant.
- Trois joueurs de basket-ball ont ces résultats relativement à leur réussite à faire un panier depuis la ligne de lancer franc :
- L’élève A a réussi 14 paniers sur 21 tentatives.
- L’élève B a réussi 15 paniers sur 23 tentatives.
- L’élève C a réussi 17 paniers sur 25 tentatives.
Encouragez les élèves à utiliser leur compréhension des fractions, des nombres décimaux et des pourcentages pour déterminer quel élève a été le plus habile. Demandez-leur de partager leur raisonnement, puis discutez de la manière dont elles et ils pourraient vérifier leur prédiction.
Dites aux élèves qu’un sondage local a révélé que, sur 200 élèves interrogés, 120 préféraient les croustilles de pommes de terre et que 80 préféraient les croustilles de maïs. Demandez aux élèves de travailler en dyade pour déterminer si les grands titres suivants rendent bien compte des résultats du sondage. Encouragez-les à justifier leurs opinions en faisant référence à des fractions, à des nombres décimaux et à des pourcentages et en utilisant des modèles pour illustrer leurs idées. Voici les grands titres :
- 6 élèves sur 10 préfèrent les croustilles de pommes de terre aux croustilles de maïs.
- Les élèves préfèrent les croustilles de maïs aux croustilles de pomme de terre dans un rapport de 8 à 12.
- Il y a 40 élèves de plus qui préfèrent les croustilles de pomme de terre que ceux qui préfèrent les croustilles de maïs.
- Les élèves qui préfèrent les croustilles de pomme de terre sont plus nombreux que ceux qui préfèrent les croustilles de maïs dans un rapport de 3 à 2.
- Le nombre d’élèves qui préfèrent les croustilles de pomme de terre est 1,5 fois celui des élèves qui préfèrent les croustilles de maïs.
- 40 % des élèves interrogés préfèrent les croustilles de maïs aux croustilles de pomme de terre.
- Trois cinquièmes des élèves préfèrent les croustilles de pommes de terre aux croustilles de maïs.
- Le nombre d’élèves qui préfèrent les croustilles de maïs est de celui des élèves qui préfèrent les croustilles de pomme de terre.
Utilisez divers modèles pour aider les élèves à reconnaître que tous ces grands titres pourraient décrire les résultats du sondage. Discutez avec les élèves du grand titre qu’une entreprise de croustilles de pommes de terre devrait utiliser pour intégrer les résultats du sondage à une publicité. Discutez également des avantages et des limites de l’utilisation des comparaisons relatives (pourcentages, nombres décimaux et fractions) par rapport à l’utilisation des comparaisons absolues (addition et soustraction).