C1. Suites et relations
Contenus d’apprentissage
Suites
C1.1
reconnaître et comparer une variété de suites à motif répété, de suites croissantes et de suites décroissantes, y compris des suites trouvées dans la vie quotidienne, et comparer des suites croissantes linéaires et des suites décroissantes selon leurs taux constants et leurs valeurs initiales.
- Comparer des suites croissantes et décroissantes linéaires avec les mêmes valeurs initiales
- Commencer avec quatre carreaux au rang 0 et changer de différentes quantités de carreaux à chaque nouveau rang
- Comparer des suites décroissantes linéaires avec les mêmes taux de variation
- Commencer avec différentes quantités de carreaux au rang 0 et diminuer d’un carreau à chaque nouveau rang
- Si le rapport entre le changement d’une variable et le changement d’une autre variable est équivalent dans deux ensembles de données, alors il y a un taux constant. Des exemples d’application réelle d’un taux constant sont un salaire horaire de 15 $ l’heure ou le remboursement d’un prêt avec un versement de 50 $ par mois.
- La valeur initiale d’une suite croissante linéaire correspond à la valeur du terme quand le numéro du terme est de zéro. Les frais d’adhésion à un centre de conditionnement physique constituent un exemple d’application de la valeur initiale dans la vie quotidienne.
- Une suite croissante linéaire de la forme y = mx + b a un taux de variation constant m et une valeur initiale b.
- Le graphique d’une suite croissante linéaire qui a une valeur initiale de zéro passe par l’origine à (0, 0).
- La représentation graphique d’une suite croissante linéaire est une droite qui monte, de gauche à droite, et celle d’une suite décroissante est une droite qui descend, de gauche à droite.
Remarque(s) :
- Les suites croissantes et décroissantes ne sont pas toutes des suites linéaires.
Proposez aux élèves de comparer des suites de la vie quotidienne, comme la variabilité des fréquences cardiaques (VFC) présentées ci-dessous.
Demandez aux élèves de décrire les similarités et les différences entre les suites. Discutez de la façon dont l’analyse de ces suites peut fournir des renseignements et être utilisée pour faire des prédictions.
Proposez aux élèves différentes suites, dont quelques-unes avec les mêmes valeurs initiales.
Posez des questions comme :
- Qu’est-ce qui est similaire dans ces droites?
- Qu’est-ce qui est différent dans ces droites?
- Que peuvent représenter ces droites?
Proposez aux élèves une variété de suites décroissantes linéaires qui ont une valeur initiale différente, mais diminuent au même taux.
Posez des questions comme :
- Qu’est-ce qui est similaire dans ces droites?
- Qu’est-ce qui est différent dans ces droites?
- Que peuvent représenter ces trois droites?
C1.2
créer des suites à motif répété, des suites croissantes et des suites décroissantes comprenant des nombres rationnels, à l’aide d’une variété de représentations, y compris des expressions algébriques et des équations pour les suites croissantes et décroissantes linéaires, et établir des liens entre les différentes représentations.
- Représentations de suites décroissantes linéaires comprenant des nombres entiers
- Représentations de suites croissantes linéaires comprenant des nombres entiers
- Représentations de suites décroissantes comprenant des fractions
- Représentations de suites croissantes linéaires comprenant des nombres décimaux
- La structure d’une suite peut être représentée de différentes façons.
- Les suites croissantes sont créées par l’augmentation du nombre d’éléments dans chaque terme à chaque rang.
- Les suites à motif répété sont créées par la répétition de leur motif de base, et la complexité de ces suites peut varier.
- Une suite croissante peut être créée en répétant le motif. Chaque itération montre comment le nombre total d’éléments augmente avec chaque ajout du motif de base.
- Les suites décroissantes sont créées par la diminution du nombre d’éléments dans chaque terme à chaque rang.
- Des suites peuvent être représentées par des points sur un plan cartésien dont l’axe horizontal indique soit le numéro du motif de base dans une suite à motif répété, soit le rang du terme dans une suite croissante ou décroissante, et l’axe vertical indique le nombre de termes dans une suite à motif répété, le nombre d’éléments dans le terme dans le cas d’une suite croissante ou décroissante (la valeur du terme).
- Une suite croissante linéaire peut être représentée à l’aide d’une expression algébrique ou d’une équation pour montrer la relation entre le rang et le nombre d’éléments.
- L’analyse des structures d’une suite croissante linéaire peut fournir un aperçu des différentes équations algébriques qui montrent la relation entre le rang et le nombre d’éléments dans le terme. Par exemple, dans la suite 1, chaque terme peut être considéré comme le rang fois deux plus quatre, ce qui peut être exprimé comme valeur de terme = 2 * (rang) + 4 ou y = 2x + 4. La suite 2 montre que pour cette suite, chaque terme peut également être considéré comme rang +2 + rang +2, ce qui peut être exprimé comme y = x + 2 + x + 2. L’expression pour la suite 2 peut être simplifiée en y = 2x + 4, qui est la même équation que pour la suite 1.
Suite 1
Suite 2
Remarque(s) :
- La création de suites croissantes et décroissantes ne se limite pas à des suites linéaires.
Fournissez aux élèves une équation, telle que y = 1,5x + 1, représentant une suite croissante ou décroissante linéaire. Demandez-leur de tracer la droite pour les cinq premiers termes.
Demandez aux élèves de créer et de représenter diverses suites croissantes et décroissantes non linéaires. Il est important que les élèves continuent de faire preuve de flexibilité dans leurs réflexions sur toutes sortes de suites et sur les façons variées de les représenter (p. ex., à l’aide des matériaux concrets, des représentations graphiques dessinées à la main ou au moyen de la technologie ou des tables de valeurs).
C1.3
déterminer et utiliser les règles pour prolonger des suites, faire et justifier des prédictions et trouver les termes manquants dans des suites croissantes et des suites décroissantes comprenant des nombres rationnels, et utiliser les représentations symboliques des règles pour trouver des valeurs inconnues dans des suites croissantes et décroissantes linéaires.
- Prolonger des suites dans plusieurs directions
- À quoi ressemble la figure au rang −1? À quoi ressemble la figure au rang 5?
- Faire des prédictions proches et lointaines
- Quelle est la valeur des carreaux aux rangs 5? Et 10?
- Quelle est la valeur des carreaux aux rangs −5? Et −10?
- Trouver les termes manquants dans des représentations visuelles, des suites de motifs géométriques, des suites numériques, des tables de valeurs et des représentations graphiques
- Utiliser une équation, comme V = −2r − 3, où V représente le terme et r le rang, pour illustrer la règle de la suite et trouver la valeur associée à un rang quelconque
- Quelle est la valeur du terme au rang 12?
- V = −2r − 3
- V = −2(12) − 3
- V = −24 − 3
- V = −27
- Quelle est la valeur du terme au rang 12?
- Les suites peuvent être prolongées, en identifiant la régularité ou la règle de chacune.
- Les règles sont des généralisations et elles peuvent être décrites avec des mots.
- Pour prolonger des suites, faire des prédictions ou trouver les termes manquants, il importe de formuler des généralisations à l’aide de la règle de chaque suite. Le processus de généralisation permet également de proposer et vérifier des conjectures ainsi que de faire une analyse critique des solutions concernant les termes manquants.
- Faire une prédiction proche consiste à indiquer ou à représenter à quoi ressembleront les prochains termes d’une suite donnée. La prédiction peut être vérifiée simplement en prolongeant ce modèle.
- Faire une prédiction lointaine consiste à indiquer ou à représenter à quoi ressemblera une suite bien au-delà d’une suite donnée. Des calculs sont souvent nécessaires pour faire une prédiction juste ou pour vérifier sa vraisemblance.
Remarque(s) :
- La détermination d’un point dans la représentation graphique d’un motif est appelée interpolation.
- La détermination d’un point au-delà de la représentation graphique d’un motif est appelée extrapolation.
Demandez aux élèves de prolonger la suite dans la représentation graphique suivante pour inclure les rangs −1, 5 et 6.
Amenez les élèves à reconnaître la relation entre deux ensembles de données, tel que chaque élément d’un ensemble est associé à un élément de l’autre ensemble. Par exemple, dans l’équation 2x + 3 = y, les valeurs de y sont calculées en remplaçant les x de l’équation y = 2x + 3 par des valeurs de x différentes. Voir la table de valeurs suivante :
x | y |
−4 | −5 |
0 | 3 |
2 | 7 |
13 | |
9 | 21 |
Demandez aux élèves de réfléchir aux questions suivantes :
- Qu’arrive-t-il à y lorsque x augmente de 1? Comment le savez-vous?
- Quelle est la valeur de x lorsque y est égal à 13? Comment le savez-vous?
Proposez aux élèves différentes suites représentées dans des tables de valeurs avec des éléments manquants, comme dans la table de valeurs ci-dessous. Demandez-leur de déterminer :
- le terme à un rang donné, par exemple, au 20e rang
- le rang ayant une valeur donnée, par exemple, le rang dont le terme est −53 dans la table de valeurs ci-après
- l’expression algébrique pour le rang r, par exemple, −2r −3
Rang | Terme |
0 | −3 |
1 | −5 |
2 | −7 |
3 | −9 |
4 | −11 |
20 | |
−43 | |
r |
−2r − 3 |
C1.4
créer et décrire des suites numériques comprenant des nombres rationnels et représenter des relations entre ces nombres.
- Séries d’opérations apparentées pour montrer la relation entre la notation scientifique et standard
2 × 104 = 20 000 |
2 × 103 = 2 000 |
2 × 102 = 200 |
2 × 101 = 20 |
2 × 100 = 2 |
2 × 10−1 = 0,2 |
2 × 10−2 = 0,02 |
- Séries d’opérations apparentées montrant ce qui arrive aux signes lors de la multiplication de nombres entiers
2 × 4 = 8 | −2 × 4 = −8 | 2 × (−4) = −8 | −2 × (−4) = 8 |
2 × 3 = 6 | −2 × 3 = −6 | 2 × (−3) = −6 | −2 × (−3) = 6 |
2 × 2 = 4 | −2 × 2 = −4 | 2 × (−2) = −4 | −2 × (−2) = 4 |
2 × 1 = 2 | −2 × 1 = −2 | 2 × (−1) = −2 | −2 × (−1) = 2 |
2 × 0 = 0 | −2 × 0 = 0 | 2 × 0 = 0 | −2 × 0 = 0 |
2 × (−1) = −2 | −2 × (−1) = 2 | 2 × 1 = 2 | (−2) × 1 = −2 |
2 × (−2) = −4 | −2 × (−2) = 4 | 2 × 2 = 4 | (−2) × 2 = −4 |
2 × (−3) = −6 | −2 × (−3) = 6 | 2 × 3 = 6 | (−2) × 3 = −6 |
2 × (−4) = −8 | −2 × (−4) = 8 | 2 × 4 = 8 | (−2) × 4 = −8 |
- Les suites et les régularités peuvent être utilisées pour démontrer les relations entre les nombres, y compris l’utilisation d’exposants dans la notation scientifique.
Remarque(s) :
- L’utilisation des suites et des régularités est une stratégie utile pour développer la compréhension des concepts mathématiques, comme savoir quel signe utiliser lorsque deux nombres entiers sont additionnés ou soustraits.
Présentez aux élèves une série d’opérations apparentées partielle basée sur un concept mathématique clé, comme les exposants des nombres exprimés en notation scientifique.
2 × 104 = 20 000 |
2 × 103 = 2 000 |
2 × 102 = 200 |
2 × 101 = 20 |
2 × 100 = 2 |
2 × 10−1 = 0,2 |
2 × 10−2 = 0,02 |
Invitez les élèves à utiliser des séries d’opérations apparentées pour illustrer des faits de multiplication et de division des nombres entiers. Demandez-leur de décrire les suites et régularités dans les signes et d’expliquer la manière dont elles et ils peuvent les appliquer à des cas où plus de deux nombres entiers sont multipliés ensemble.
2 × 4 = 8 | −2 × 4 = −8 |
2 × 3 = 6 | −2 × 3 = −6 |
2 × 2 = 4 | −2 × 2 = −4 |
2 × 1 = 2 | −2 × 1 = −2 |
2 × 0 = 0 | −2 × 0 = 0 |
2 × (−1) = −2 | −2 × (−1) = 2 |
2 × (−2) = −4 | −2 × (−2) = 4 |
2 × (−3) = −6 | −2 × (−3) = 6 |
2 × (−4) = −8 | −2 × (−4) = 8 |