C2. Équations et inégalités
Contenus d’apprentissage
Variables et expressions
- Expressions algébriques
- 4m + 3m − (+2m) − (−4m)
- −5x + 4y − (−3x) + (−y)
- (4x + 3y) + (5x + 2y)
- (4x + 3y) + (5x − 2y)
- (−4x + 3y) + (−5x + 2y)
- (−4x − 3y) + (−5x - 2y)
- Additionner des binômes à l’aide de mosaïques géométriques
- h représente le coût d’un hexagone jaune t représente le coût d’un triangle vert
- h + h + h + h + h + h + h = 7h à coût total des hexagones jaunes dans un motif
- 2t + 2t + 2t + 2t + 2t + 2t = 12t à coût total des triangles verts dans un motif
- Coût total pour un motif = 7h + 12t
- Coût total de deux motifs = (7h + 12t) + (7h + 12t) = 14h + 24t
- h représente le coût d’un hexagone jaune t représente le coût d’un triangle vert
- Additionner et soustraire des monômes à l’aide de carreaux algébriques
- −5x + 4y − (−3x) + (−y)
- Un monôme du premier degré comprend une variable à l’exposant 1. Par exemple, dans le monôme 2m, l’exposant de m est 1. Quand l’exposant n’est pas mentionné, il est convenu qu’il s’agit de l’exposant 1.
- Seuls les monômes du premier degré avec des variables semblables, comme 3m et 2m, peuvent être additionnés ou soustraits. Les représentations concrètes et visuelles sont essentielles pour favoriser la compréhension de ce concept.
- Seuls les termes semblables peuvent être combinés lorsque les monômes et les binômes sont additionnés (p. ex., 5m + (-3m + 4n) = 5m + (-3m) + 4n = 2m + 4n). Les représentations concrètes et visuelles sont essentielles pour favoriser la compréhension de ce concept.
Remarque(s) :
- Des exemples de monômes du deuxième degré sont x2 et xy. La raison pour laquelle xy est un monôme du deuxième degré est que x et y ont tous deux un exposant de 1. Le degré du monôme est déterminé par la somme de tous les exposants de ses variables.
Invitez les élèves à former des dyades. Demandez à chaque élève de créer un motif avec le même type de mosaïques géométriques que son coéquipier et d’écrire une expression algébrique représentant le coût de leur création. Demandez ensuite aux élèves de la dyade de déterminer la différence entre leurs deux motifs. Par exemple, le motif A peut être représenté par 7h, et le motif B, par 14h, h correspondant au coût de chaque hexagone.
Invitez les élèves à utiliser des mosaïques géométriques ou des carreaux algébriques pour représenter l’ajout de divers binômes. Il est important que les élèves voient que seuls des termes similaires peuvent être simplifiés. Par exemple :
- Additionner 3x + 1 et x + 3 à l’aide de carreaux algébriques
- Additionner (−2x + 3) et (x + 1) à l’aide de carreaux algébriques
C2.2
évaluer des expressions algébriques qui comprennent des nombres rationnels.
- Expressions algébriques
- 2L + 2l
- bh
- bh ÷ 2 ou $$\frac{b h}{2}$$
- $$\left(\frac{a+b}{2}\right)h$$
- Llh
- 3m2 + 2n − 1
- Évaluation d’expressions
- 7h + 12t représente le coût d’un motif composé de mosaïques géométriques; h représente le coût pour un hexagone jaune, et t, pour un triangle vert.
- si 1h = 0,75 $ et si 1t = 0,25 $,
- alors 7h + 12t
= 7(0,75) + 12(0,25)
= 5,25 + 3,00
= 8,25 $
- 7h + 12t représente le coût d’un motif composé de mosaïques géométriques; h représente le coût pour un hexagone jaune, et t, pour un triangle vert.
- Pour évaluer une expression algébrique, il faut remplacer les variables par des valeurs numériques et faire les calculs selon la priorité des opérations.
Remarque(s) :
- Lorsque les élèves travaillent avec des formules, elles et ils évaluent des expressions.
- Substituer des variables par des valeurs numériques nécessite souvent l’utilisation de parenthèses. Par exemple, l’expression $$\frac{3}{4}$$m devient $$\frac{3}{4}$$(m) puis $$\frac{3}{4}$$($$\frac{2}{5}$$) lorsque m = $$\frac{2}{5}$$. L’opération entre ($$\frac{3}{4}$$) et ($$\frac{2}{5}$$) est la multiplication.
Demandez aux élèves d’évaluer les expressions algébriques pour le motif ou l’image qu’elles et ils ont créés pour l’exemple de tâches 1 pour C2.1, lorsqu’on leur donne la valeur associée à une mosaïque géométrique; par exemple, les hexagones coûtent 10,75 $ chacun et les trapèzes 8,50 $ chacun.
Les formules comprennent des expressions algébriques. Demandez aux élèves d’évaluer diverses formules, y compris celles relatives au domaine E : Sens de l’espace.
Relations d’égalité et d’inégalité
C2.3
résoudre des équations qui comprennent des termes multiples, des nombres entiers et des nombres décimaux, dans divers contextes, et vérifier les solutions.
- Équations
- 5x − 10 = −3x + 6
- −5x − 3x = 10 − (−6)
- 3,2x + 4,1 = 7,3
- 14,5 − 2,5 = 6,5x − 2x
- x2 = 32 + 42
- Résolution à l’aide de carreaux algébriques et d’un modèle de balance à plateaux
- Une équation est un énoncé mathématique dans lequel les expressions de chaque côté du signe d’égalité sont équivalentes.
- Dans les équations, les symboles sont utilisés pour représenter des quantités inconnues.
- Pour résoudre une équation à l’aide d’un modèle de balance, il faut représenter les expressions visuellement et les manipuler jusqu’à ce qu’elles soient équivalentes.
- Un logigramme est une stratégie pouvant servir à résoudre des équations comme $$\frac{m}{4}$$ - 2 = -10. Le premier logigramme illustre le déroulement des opérations appliquées à la variable pour obtenir le résultat. Le deuxième logigramme montre le déroulement des opérations inverses pour permettre de trouver la valeur de la variable.
- Une équation comprenant plusieurs termes peut être simplifiée avant sa résolution.
Présentez aux élèves des équations dont la résolution nécessite de rassembler des termes semblables, par exemple : 5x − 10 = −3x + 6.
Après avoir simplifié l’équation, les élèves peuvent trouver la valeur inconnue de diverses façons. Il est important que les élèves vérifient également leur réponse en remplaçant la valeur dans l’équation et en s’assurant que les deux côtés de l’équation sont toujours égaux. Elles et ils pourraient utiliser la structure MG/MD (membre de gauche/membre de droite), en substituant leur solution dans l’équation d’origine, puis en évaluant chaque côté indépendamment. Si MG = MD, la solution est correcte. Si MG n’est pas égal à MD, alors la solution est incorrecte. Dans le cas ci-dessous, l’élève a déterminé que la solution est x = 2.
Proposez aux élèves de résoudre des équations comprenant des nombres décimaux, par exemple, demandez-leur de déterminer la longueur, arrondie au dixième près, d’un côté d’un triangle rectangle à partir de la longueur des deux autres côtés, ou de déterminer la longueur de côtés d’une figure plane à partir de mesures données.
C2.4
résoudre des inégalités qui comprennent des nombres entiers, et vérifier et présenter les solutions à l’aide de modèles et de représentations graphiques.
- Inégalités et solutions
- 5x − 10 ≤ −3 x + 6
- Étape 1 : Isoler la variable x.
- Nous devons mettre tous les x du même côté et tous les nombres de l’autre côté.
- Commençons par mettre tous les nombres sur le côté droit. Cela veut dire que nous devons ajouter 10 sur le côté gauche. Pour maintenir l’équilibre, nous devons faire la même chose du côté droit :
- 5x − 10 + 10 < −3x +6 + 10
- 5x < −3x + 16
- Maintenant, déplaçons tous les x sur le côté gauche. Cela signifie que nous devons nous en défaire sur le côté droit en ajoutant + 3x.
- Pour maintenir l’équilibre, nous devons faire la même chose du côté gauche :
- 5x + 3x < −3x + 3x + 16
- 8x < 16
- Étape 2 : Déterminer x
- Si x = 1, alors 8 × 1 < 16 est vrai
- Si x = 2, alors 8 × 2 < 16 n’est pas vrai [8 × 2 = 16]
- Donc, x doit être inférieur à 2 :
- x < 2
- 10 − (−6) ≤ -5 x − 3x
- 10 + 6 ≤ -5 x − 3x
- 16 ≤ -8x
- −8x ≥ 16
- −2 ≥ x qui peut aussi être exprimé comme x ≤ −2
- Lors de la multiplication ou de la division par un entier négatif, le signe d’inégalité doit être inversé pour que la solution soit vraie.
- Pour résoudre des inégalités comprenant des nombres entiers, il faut porter une attention particulière au signe d’inégalité afin de veiller à ce que la condition demeure valide. Par exemple, quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut changer le signe d’inégalité : -2x < 6 $$\rightarrow$$ x > -3.
- Sur une droite numérique, un point vide indique une relation d’inégalité stricte (« est inférieur à » ou « est supérieur à »); un point plein indique une relation d’inégalité large (« est inférieur ou égal à » ou « est supérieur ou égal à »).
Remarque(s) :
- La solution d’une inégalité qui a une variable, telle que - 2x + 3x < 10, peut être représentée graphiquement sur une droite numérique.
- La solution d’une inégalité qui a deux variables, telles que x + y < 4, peut être représentée graphiquement sur un plan cartésien.
Demandez aux élèves de résoudre diverses inégalités qui requièrent de simplifier des termes semblables.
- 5x − 10 < −3 x + 6
- 10 − (−6) ≤ −5 x − 3x
L’une des stratégies possibles pour résoudre des inégalités consiste à considérer l’inégalité comme une égalité, puis à essayer des nombres supérieurs ou inférieurs à celui de la résolution de l’égalité pour déterminer l’intervalle des nombres qui constituent des réponses valables. Encouragez les élèves à représenter correctement leurs solutions à l’aide d’un point plein ou vide.