E2. Sens de la mesure
Contenus d’apprentissage
Système métrique
E2.1
représenter de très grandes (méga, giga, téra) et de très petites (micro, nano, pico) unités de mesure métriques à l’aide de modèles, de relations de base dix et de la notation exponentielle.
- Très grandes unités de mesure métriques
- kilo-unité : 1 millier d’unités
- kilogramme : masse d’un objet
- kilomètres : distances parcourues sur terre et dans les airs
- méga-unité : 1 million d’unités
- mégahertz : fréquence de rayonnement électromagnétique pour les stations de radiodiffusion
- mégapixels : résolution de photos
- giga-unité : 1 milliard (1 × 109) d’unités
- gigamètre : distance entre les planètes et le Soleil
- gigabit : capacité d’une bande passante d’un lien réseau
- téra-unité : 1 000 milliards (1 × 1012) d’unités
- téraoctet : stockage de données
- téraseconde : environ 32 000 ans
- kilo-unité : 1 millier d’unités
- Très petites unités de mesure métriques
- milli-unité : 1 millième d’une unité
- millimètre : épaisseur d’une carte
- millilitre : capacité en cuisine et en pâtisserie
- micro-unité : 1 millionième d’une unité
- micromètre : mesure d’objets microscopiques
- microseconde : durée d’un flash stroboscopique à haute vitesse
- nano-unité : 1 milliardième (1 × 10−9) d’une unité
- nanoseconde : vitesse de la lumière
- nanomètre : longueur de croissance d’un ongle en 1 s
- pico-unité : 1 trillionième (1 × 10−12) d’une unité
- picomètre : mesure d’un atome
- picoseconde : vitesse d’un laser
- milli-unité : 1 millième d’une unité
- La technologie permet de mesurer des quantités et des distances très petites et très grandes avec précision.
- Toutes les unités métriques sont fondées sur un système de base 10, et les préfixes métriques décrivent la taille relative d’une unité (voir le contenu d’apprentissage E2.2 de la 4e année). Les unités de kilo à milli sont converties à l’aide d’un facteur de conversion de 10, et les autres unités sont converties à l’aide d’un facteur de conversion de 1 000. Les exposants aident à représenter ces facteurs de conversion.
| Préfixe de l’unité métrique | Signification | Facteur de conversion |
| téra (T) | 1 billion d’unités | 1 unité × 1 000 000 000 000 (1012) |
| giga (G) | 1 milliard d’unités | 1 unité × 1 000 000 000 (109) |
| méga (M) | 1 million d’unités | 1 unité × 1 000 000 (106) |
| kilo (k) | 1 millier d’unités | 1 unité × 1 000 (103) |
| unité | 1 unité | 1 unité × 1 (100) |
| milli (m) | 1 millième d’unité | 1 unité ÷ 1 000 ($$\frac{1}{10^{3}}$$ ou 10-3) |
| micro (µ) | 1 millionième d’unité | 1 unité ÷ 1 000 000 ($$\frac{1}{10^{6}}$$ ou 10-6) |
| nano (n) | 1 milliardième d’unité | 1 unité ÷ 1 000 000 000 ($$\frac{1}{10^{9}}$$ ou 10-9) |
| pico (p) | 1 billionième d’unité | 1 unité ÷ 1 000 000 000 000 ($$\frac{1}{10^{12}}$$ ou 10-12) |
Montrez un mètre aux élèves et expliquez-leur que vous allez l’utiliser comme modèle à l’échelle. Posez des questions comme celles qui suivent :
- Si le mètre représente 1 km, que représente 1 cm? Que représente 1 mm?
- Si le mètre représente un mégamètre (Mm), que représente 1 cm? Que représente 1 mm?
- Si le mètre représente 1 millimètre, où se trouverait un micromètre (μm) sur le mètre?
De la même façon, les élèves utilisent du matériel de base dix pour modéliser les unités de capacité et constatent à quoi cela ressemblerait si le gros cube représentait un kilolitre (kl), un litre (L) ou un millilitre (ml), puis utilisent cette référence pour visualiser les autres unités.
Demandez aux élèves de former des dyades pour déterminer si les énoncés ci-dessous sont vrais ou faux.
- La Terre a un diamètre d’environ 13 mégamètres
- Le Soleil a un diamètre d’environ 1,4 gigamètre
- L’être humain moderne existe depuis environ six térasecondes
- La lumière prend environ une nanoseconde pour parcourir 30 cm
- L’espérance de vie d’un être humain se situe entre 2 et 3 gigasecondes
Proposez aux élèves de décrire ces mesures à l’aide d’unités plus courantes et de discuter de stratégies pour les convertir en très grandes ou en très petites unités, puis de vérifier les énoncés ci-dessus.
Droites et angles
E2.2
résoudre des problèmes associés aux propriétés des angles, y compris la propriété des droites sécantes et parallèles et les propriétés des polygones.
- Angles formés lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante
- Propriétés des angles et des droites sécantes et droites parallèles
- Angles supplémentaires (somme de 180°)
- Angles complémentaires (somme de 90°)
- Les angles opposés par le sommet sont congrus, donc ∠a = ∠c et ∠f = ∠h
- Les angles alternes-internes (modèle Z) sont congrus, donc ∠c = ∠e
- Les angles correspondants (modèle F) sont congrus, donc ∠c = ∠g
- Les angles co-internes (modèle C) totalisent 180°, donc ∠d + ∠e = 180°
- Somme des angles intérieurs de polygones
- Triangle : la somme des angles est de 180°
- Quadrilatère : la somme des angles est de 360°
- Tout polygone : la somme des angles est de (n − 2) × 180, où n est égal au nombre de côtés
- Angles extérieurs d’un polygone
- ∠ACD est un angle extérieur de ∆ABC
- ∠ACB + ∠ACD = 180°
- Il est possible de déterminer la mesure des angles en appliquant les propriétés des angles. Il est souvent plus rapide de calculer la mesure des angles que de tenter de les mesurer.
- Si un grand angle de mesure donnée est composé de deux plus petits angles, seuls deux d’entre eux sont nécessaires pour trouver la valeur du troisième.
- La mesure d’un angle connu permet de déterminer la mesure d’angles inconnus. Voici quelques propriétés des angles :
- Un angle plat mesure 180°; en sachant cela, il est possible de déterminer la mesure d’angles supplémentaires.
- Un angle droit mesure 90°; en sachant cela, il est possible de déterminer la mesure d’angles complémentaires.
- La somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180°; la somme des angles intérieurs d’un quadrilatère est de 360°; la somme des angles intérieurs d’un pentagone est de 540°; la somme des angles intérieurs d’un polygone à n côtés est (n – 2) × 180. Les propriétés des angles d’un polygone peuvent servir à trouver la mesure d’un angle manquant.
- Les propriétés présentées ci-dessus peuvent servir à trouver la mesure d’angles inconnus lorsqu’une sécante coupe deux droites parallèles, comme la figure l’indique :
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Remarque(s) :
- Le but de ce contenu d’apprentissage n’est pas de mémoriser les propriétés des angles ou les termes, mais plutôt d’avoir recours à un raisonnement spatial et à une connaissance des angles connus pour déterminer des angles inconnus.
- Si deux figures sont semblables, elles ont des angles congrus (voir le contenu d’apprentissage E1.3). Le fait de reconnaître les similarités entre des figures (p. ex., en s’assurant que la longueur de leurs côtés est proportionnelle) peut aussi servir à trouver la mesure d’angles manquants.
- Il est possible d’additionner la mesure de petits angles pour déterminer la mesure d’un plus grand, grâce à la propriété d’additivité.
Demandez aux élèves de tracer deux droites parallèles et une droite sécante qui recoupe les deux droites parallèles. Suggérez-leur d’utiliser un rapporteur d’angles pour déterminer les mesures de chacun des angles formés et décrire les relations qui existent entre les angles. Donnez aux élèves un schéma, qui n’est pas dessiné à l’échelle, représentant des droites parallèles recoupées par une sécante dans lequel une seule mesure d’angle est indiquée. Suggérez-leur d’utiliser les relations pour déterminer les mesures des autres angles, puis de recréer le schéma à l’échelle.
Présentez aux élèves un schéma comme celui ci-dessous. Demandez-leur de trouver les mesures d’angle manquantes si, par exemple, ∠b est égal à 51°. Amenez les élèves à utiliser les angles connus pour justifier leurs solutions.
Demandez aux élèves d’utiliser les propriétés des angles ainsi que leur compréhension des dessins à l’échelle, des homothéties et de la similarité (p. ex., côtés de longueurs proportionnelles; angles congruents) pour résoudre des problèmes comportant des angles et des longueurs manquants, comme celui ci-dessous.
Amenez les élèves à créer leurs propres « défis-angles » comprenant des schémas ayant des mesures manquantes, en y intégrant les diverses propriétés des angles. Mettez-les au défi de créer des « jeux de réflexion » en utilisant le nombre minimal de mesures d’angle données nécessaires pour déterminer les mesures d’angle inconnues. Invitez les élèves à échanger leurs défis avec des camarades et à discuter de leurs stratégies pour déterminer les mesures d’angle manquantes.
Longueur, aire et volume
E2.3
résoudre des problèmes associés au périmètre, à la circonférence, à l’aire, au volume et à l’aire totale de figures planes composées et de solides, en utilisant des formules appropriées.
- Figures planes composées (ou décomposables)
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- Solides composés (ou décomposables)
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- Les figures planes et les solides peuvent être composés et décomposés en parties mesurables.
- La propriété d’additivité s’applique aux attributs de la longueur (y compris la distance, le périmètre et la circonférence), de l’aire (y compris l’aire totale) et du volume (y compris la capacité). Les mesures des parties d’un ensemble peuvent être combinées pour trouver la mesure de l’ensemble.
- Les relations de certains attributs et de certaines figures peuvent être exprimées en formules. Pour appliquer ces formules à des figures et à des solides composés, les figures et solides doivent être décomposés en parties « familières » dont les formules sont connues. Ainsi, une aire en forme de L peut être décomposée en deux rectangles, et ces deux aires plus petites peuvent être additionnées pour calculer l’aire totale.
- Il faut faire preuve de jugement et de réflexion pour appliquer des formules dans le cadre de la vie de tous les jours. Par exemple, pour appliquer la formule de l’aire d’un rectangle à un jardin, il faut :
- déterminer d’abord si le jardin est de forme rectangulaire;
- si ce n’est pas le cas, déterminer si le jardin peut être divisé en de plus petits rectangles et s’il est possible d’en combiner les aires.
- À ce niveau d’étude, les formules de longueur connues incluent, notamment :
- Périmètre = côté + côté + côté +…
- Diamètre = 2 × rayon (2r)
- Circonférence = π × diamètre (πd)
- À ce niveau d’étude, les formules d’aire connues incluent, notamment :
- Aire d’un rectangle = base × hauteur
- Aire d’un parallélogramme = base × hauteur
- Aire d’un triangle = $$\frac{1}{2}$$ base × hauteur
- Aire d’un trapèze = $$\frac{1}{2}$$ (base 1 + base 2) × hauteur (ou son équivalent)
- Aire d’un cercle = π × rayon × rayon (πr2)
- À ce niveau d’étude, les formules de volume connues incluent, notamment :
- Volume d’un prisme = (aire de la base) × hauteur
- Volume d’un cylindre = (aire de la base) × hauteur
Proposez aux élèves de résoudre diverses situations comprenant des figures composées inhabituelles. Par exemple, invitez-les à trouver la distance entourant une piste de course. Amenez-les à reconnaître que cette figure peut être décomposée en un rectangle et en deux demi-cercles (qui créent un cercle). Demandez-leur de trouver le lien entre la distance pour traverser la piste d’un côté à l’autre et le diamètre des demi-cercles, et de combiner les mesures pour trouver le périmètre total. Invitez-les ensuite à déterminer l’aire gazonnée au centre de la piste en additionnant les différentes aires de ses parties.
Demandez aux élèves de créer une structure composée d’au moins deux prismes différents ou incluant un cylindre. Dites aux élèves que la surface exposée de leur structure doit être peinte. Amenez-les à en calculer l’aire afin de déterminer la quantité de peinture dont elles et ils auront besoin.
Dites aux élèves de jouer le rôle d’un spécialiste en marketing qui doit concevoir un emballage pour un objet donné. Le contenant doit être attrayant et accrocheur, fabriqué à partir de prismes, de cylindres ou d’une combinaison des deux, et avoir une capacité de 3 L.
Demandez aux élèves de créer un prototype de leur contenant. Notez que le choix de l’objet aura une incidence sur les contenants créés par les élèves. En guise d’activité de consolidation, suggérez-leur de présenter leurs contenants lors d’une exposition. Elles et ils devraient préparer une affiche accompagnant leur contenant et présentant de l’information sur ce qu’il est censé contenir, sur le matériau à partir duquel il est fabriqué, sur les formes qui ont inspiré sa conception et sur ses mesures, comme son aire totale et son volume. Les élèves pourraient aussi être mis au défi de créer des emballages dont l’impact environnemental sera minime.
E2.4
expliquer le théorème de Pythagore en utilisant divers modèles géométriques et se servir du théorème pour calculer la mesure de longueur manquante d’un côté d’un triangle rectangle donné.
- Modèles géométriques possibles
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- Les propriétés d’un triangle rectangle peuvent servir à trouver la longueur inconnue d’un côté. Pour tout triangle rectangle, l’aire d’un carré construit sur son côté le plus long (l’hypoténuse) est égale aux aires combinées des carrés construits sur les deux côtés courts. Cette relation est connue sous le nom de théorème de Pythagore.
- Le théorème de Pythagore exprime cette relation de façon symbolique : a2 + b2 = c2. Pour résoudre l’équation, c prend la valeur de la longueur de l’hypoténuse (c) et où a et b prennent les valeurs respectives des longueurs des côtés a et b du triangle. Par exemple :
- si le côté a a une longueur de 3 unités, un carré construit sur ce côté a une aire de 32 ou de 9 unités carrées;
- si le côté b a une longueur de 4 unités, un carré construit sur ce côté a une aire de 42 ou de 16 unités carrées;
- si l’aire du carré se trouvant sur le côté c est égale aux aires combinées des carrés se trouvant sur les côtés a et b, le carré sur le côté c a une aire de 25 unités carrées (9 unités carrées + 16 unités carrées);
- si l’aire du carré se trouvant sur le côté c est de 25 unités carrées, la longueur du côté c est de $$\sqrt{25}$$ ou 5 unités.
- La relation inverse entre l’addition et la soustraction signifie que le théorème de Pythagore peut servir à trouver n’importe quelle longueur d’un triangle rectangle (p. ex., c2 - b2 = a2; c2 - a2 = b2).
- Le théorème de Pythagore sert à mesurer indirectement des longueurs qui seraient difficiles ou impossibles à mesurer directement. À titre d’exemple, il est très utilisé dans les domaines de la construction, de l’architecture et de la navigation. Par extension, ce théorème permet aussi de mesurer des distances dans l’espace.
Remarque(s) :
- Les propriétés d’un carré peuvent servir à trouver la longueur de ses côtés ou son aire. La longueur des côtés d’un carré est égale à la racine carrée de son aire. Construire un carré sur un segment est une façon de mesurer indirectement la longueur du segment.
Pour amener les élèves à reconnaître et à comprendre le théorème de Pythagore, faites-leur vivre des expériences d’apprentissage comme dans les exemples suivants :
- Demandez aux élèves de dessiner un triangle rectangle sur du papier quadrillé. Sur chaque côté du triangle, elles et ils devront dessiner un carré et trouver l’aire de chacun d’eux. Notez que les élèves devront réorganiser l’aire du carré se trouvant sur l’hypoténuse pour pouvoir créer et compter des carrés complets. Invitez-les à utiliser l’aire d’un carré pour trouver la longueur des côtés du triangle (p. ex. longueur d’un côté = racine carrée de l’aire du carré) et expliquez comment le fait de dessiner un carré sur l’un des segments peut aider à en trouver la longueur.
- Pour amener les élèves à établir la relation entre l’aire respective des trois carrés construits sur le triangle, demandez-leur de couvrir le carré se trouvant sur l’hypoténuse avec les carrés des deux autres côtés (p. ex. en découpant les carrés et en en réorganisant les parties). Invitez-les à présenter leurs observations et à vérifier que cette relation est applicable pour tous les triangles rectangles construits par leurs camarades de classe. Amenez-les aussi à constater que, bien que la relation s’applique aux triangles rectangles, elle ne s’applique pas aux autres types de triangles. Consolidez l’apprentissage en généralisant la relation des triangles rectangles à l’aide du théorème : a2 + b2 = c2.
- Pour démontrer que le théorème de Pythagore s’applique à tous les triangles rectangles, invitez les élèves à trouver des preuves visuelles du théorème. Demandez-leur de chercher sur Internet des modèles dynamiques de ce théorème. Lorsqu’elles et ils auront trouvé un modèle intéressant et convaincant, invitez-les à le présenter à leurs camarades et à expliquer pourquoi il s’agit d’une preuve visuelle du théorème.
- Donnez aux élèves de nombreuses occasions d’appliquer le théorème de Pythagore, particulièrement dans des contextes qui prouvent son utilité dans des situations de la vie quotidienne. Par exemple, pour relier cet apprentissage au codage, proposez aux élèves de programmer un robot pour construire un triangle rectangle avec deux longueurs de côté données. Servez-vous de la relation inverse entre l’addition et la soustraction pour montrer comment le théorème permet de trouver toute longueur inconnue d’un côté d’un triangle rectangle. Utilisez un modèle partie-tout pour mettre la relation en évidence.
La charpenterie et la construction sont deux secteurs où le théorème de Pythagore est utilisé. Invitez les élèves à remarquer que chaque diagonale dans un rectangle crée deux triangles rectangles et que deux diagonales dans un cadre de porte devraient donc former quatre triangles rectangles congruents. Discutez avec eux de la façon dont la relation de Pythagore pourrait être utilisée pour vérifier si le cadre de porte est bien droit et amenez-les à reconnaître que si cette relation s’applique aux deux triangles de la porte, les angles de la porte sont droits. Invitez les élèves à mettre en pratique leur apprentissage et à mesurer des portes de l’école (leur base, leur hauteur et leur diagonale), puis à dessiner des modèles à l’échelle pour prouver ou réfuter le fait que les portes sont bien droites.
Proposez des problèmes qui inciteront les élèves à utiliser la relation de Pythagore. Par exemple :
- Votre classe a décidé de participer à un programme appelé « Opération nettoyage de printemps ». Chaque élève aide une personne âgée à faire le ménage du printemps. Vous aidez Madame Luemba à nettoyer son sous-sol. Ce faisant, vous tombez sur un grand tableau d’affichage qui mesure 1,8 mètre sur 1,2 mètre et vous pensez qu’il serait parfait pour votre chambre, pour vous aider à organiser vos activités scolaires et parascolaires. Madame Luemba dit que vous pouvez l’avoir, mais que vous ne pouvez pas le monter dans l’escalier, car il risque de laisser des marques sur ses murs fraîchement peints. Il y a une fenêtre de bureau dont l’ouverture mesure 1 mètre sur 0,75 mètre. Le tableau pourra-t-il y passer?
