C3. Mises en application des relations
Contenus d’apprentissage
Mises en application des relations linéaires et non linéaires
C3.1
comparer les formes des représentations graphiques de relations linéaires et non linéaires afin de décrire leurs taux de variation, établir des liens avec des suites croissantes et avec des suites décroissantes, et pour faire des prédictions.
- situations de la vie quotidienne comportant des relations linéaires et non linéaires :
- le volume du jus de fruits pouvant être obtenu en fonction de la masse des fruits;
- le montant gagné par comparaison avec le nombre d’heures travaillées;
- le volume d’eau d’une piscine au fil du temps pendant qu’elle est vidée ou remplie;
- le nombre de couches de papier par rapport au nombre de fois qu’il est plié en deux;
- la valeur d’un véhicule au fil du temps;
- la hauteur à laquelle une balle rebondit après chaque rebond.
- décrire des taux de variation :
- taux de variation constant;
- taux de variation nul;
- taux de variation négatif ou positif;
- augmentation du taux de variation;
- diminution du taux de variation.
- des suites croissantes :
- des suites décroissantes :
Les enseignantes et enseignants peuvent :
- fournir des situations aux élèves et faciliter une discussion sur la représentation graphique de cette situation;
- fournir aux élèves du matériel concret et des outils numériques pour construire des régularités croissantes et décroissantes linéaires et non linéaires, et les appuyer à créer des graphiques pour représenter ces régularités;
- appuyer les élèves à établir des liens entre des représentations graphiques et le taux de variation (p. ex., Quand est-ce que le graphique est plus à pic? Qu’est-ce que cela nous apprend sur le taux de variation entre les variables?);
- encourager les élèves à décrire les graphiques et leurs taux de variation en utilisant des gestes, du vocabulaire et d’autres moyens qui leur sont accessibles, ainsi que la terminologie mathématique;
- partager les graphiques qui sont liés à d’autres domaines du cours (p. ex. appréciation, changement de volume, etc.);
- faciliter une discussion sur les stratégies que les élèves pourraient utiliser pour faire des prédictions (p. ex., en interpolant ou en extrapolant) et sur les situations dans lesquelles il est approprié d’utiliser des graphiques pour faire des prédictions.
- Comment pouvez-vous déterminer, à partir de la forme d’un graphique, quand :
- il croît à un rythme constant?
- il croît à un rythme croissant?
- il croît à un rythme décroissant?
- il a un taux de variation de zéro?
- il décroît à un rythme constant?
- Expliquez comment la forme d’un graphique peut fournir des renseignements sur la situation qu’il représente. Comment un graphique peut-il vous aider à faire de prédictions sur cette relation?
- Quelles sont les différences entre les relations linéaires et non linéaires? Quelles sont les différences entre leurs graphiques? Et entre leurs taux de variation?
- Si vous construisiez une suite pour représenter le graphique ci-après, à quoi ressemblerait-elle? La suite serait-elle croissante ou décroissante lorsque la variable indépendante croît? La suite augmenterait-elle d’une quantité constante ou d’une quantité variable? Comment pourriez-vous utiliser le graphique pour faire une prédiction au sujet de la suite?
Demandez aux élèves de créer une suite à motifs croissants ou décroissants avec les objets de leur choix, puis de créer un graphique pour représenter leur suite. Affichez les images des suites et des graphiques et demandez aux élèves de les faire correspondre en comparant l’évolution des suites avec la direction et la forme des graphiques. Demandez-leur de justifier leurs choix. Posez des questions qui incitent les élèves à faire des prédictions sur le comportement de la suite, telles que : « Quelle suite aurait une valeur supérieure pour le rang 10? ».
Montrez aux élèves différents graphiques et demandez-leur de prédire les façons dont elles et ils marcheraient devant un détecteur de mouvement pour créer le graphique. Par exemple, les élèves pourraient dire : « Je m’éloignerais du détecteur très lentement au début et plus rapidement par la suite ». Si possible, demandez-leur de vérifier leurs prédictions avec des détecteurs de mouvement.
Demandez aux élèves de dessiner un graphique pour des situations décrites en mots ou montrées en vidéo. Demandez ensuite aux élèves de décrire les taux de variation dans les graphiques et de dire comment ils sont liés aux situations représentées. Voici quelques exemples de situations :
- la position d’une personne au cours du temps lorsqu’elle court à différentes vitesses;
- la taille d’une personne au fil du temps sur différents équipements de terrains de jeux;
- la population de bactéries au fil du temps lorsque la population ne cesse de doubler;
- la taille d’une personne au cours de sa vie;
- la valeur d’une voiture au fil du temps après son achat;
- la hauteur d’un ballon de basket après chaque rebond;
- la température moyenne sur une année.
Demandez aux élèves de comparer le graphique d’un investissement croissant avec des intérêts simples à celui d’un investissement croissant avec des intérêts composés. Demandez-leur d’utiliser les graphiques pour prédire la valeur de l’investissement à différents points du graphique (interpolation) et au-delà des points du graphique (extrapolation).
C3.2
représenter des relations linéaires à l’aide des matériaux concrets, des tables de valeurs, des graphiques et des équations, et établir des liens entre les diverses représentations afin de démontrer sa compréhension des taux de variation et des valeurs initiales.
- des relations linéaires représentées par :
- des matériaux concrets :
- des tables de valeurs :
| rang (nombre du terme) |
nombre de tuiles (valeur du terme) |
| 0 | 3 |
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 4 | 11 |
- des graphiques :
- des équations :
nombre de tuiles = 2 × (rang) + 3
ou
T = 2r + 3
ou
nombreDeTuiles = 2*Rang + 3
Les enseignantes et enseignants peuvent :
- ancrer l’apprentissage dans des exemples de la vie quotidienne et des contextes qui sont pertinents pour les élèves;
- fournir aux élèves des occasions d’utiliser du matériel concret (p. ex., tuiles de couleur, cubes emboîtables, tasses, pommes de pin, perles), des outils numériques et le codage pour représenter des relations linéaires;
- appuyer les élèves à développer des moyens de déterminer le taux de variation et la valeur initiale dans chacune des diverses représentations;
- donner aux élèves l’occasion d’établir des liens entre les représentations en leur fournissant une représentation ou deux et en les aidant à générer les autres;
- faciliter une discussion sur les représentations les plus utiles à certaines fins, notamment pour faire des prédictions proches et lointaines et à réfléchir à leur sujet;
- continuer à établir des liens entre le taux de variation et les valeurs initiales et ce qu’ils représentent dans le contexte donné;
- introduire les termes de « variation partielle » et « variation directe » en relation avec les valeurs initiales et la proportionnalité;
- encourager les élèves à déterminer des relations en utilisant la pensée fonctionnelle en établissant des liens entre la valeur d’un terme (dépendant) et le rang correspondant (indépendant) ainsi qu’en utilisant la pensée récursive en établissant des liens entre la valeur d’un terme et la valeur d’un autre.
- Comment pouvez-vous déterminer le taux de variation à partir de chaque représentation? Trouvez-vous qu’il est plus facile de déterminer le taux de variation avec certains types de représentations qu’avec d’autres?
- Comment pouvez-vous déterminer la valeur initiale à partir de chaque représentation? Trouvez-vous qu’il est plus facile de déterminer la valeur initiale avec certains types de représentations?
- Si on vous fournit un des quatre types de représentation (matériaux concrets, table de valeurs, graphique et équation), comment procéderez-vous pour créer les autres?
- Si on vous fournit ces quatre représentations, comment savez-vous qu’elles représentent toutes la même relation?
- Que signifie le taux de variation dans ce contexte? Que signifie la valeur initiale dans ce contexte?
Remettez aux élèves 20 cartes (concrètes ou numériques) comprenant cinq relations différentes, chacune étant représentée de l’une des façons suivantes : une représentation visuelle, une table de valeurs, un graphique et une équation. Demandez-leur d’associer des séries de cartes qui montrent différentes représentations de la même relation. Pour un défi supplémentaire, remplacez certaines des représentations par des cartes vierges que les élèves devront remplir.
Donnez aux élèves une représentation d’une relation linéaire en contexte et demandez-leur de créer une autre représentation de cette relation. Voici quelques exemples de contextes pertinents pour les élèves :
- le coût de la participation à divers cours (p. ex., danse, yoga, arts martiaux, conditionnement physique ou musique);
- la distance parcourue au fil du temps;
- le nombre d’heures travaillées et la rémunération totale;
- la masse des produits en vrac achetés et leur coût;
- la superficie du terrain et le rendement des récoltes.
Demandez aux élèves de créer une représentation d’une relation linéaire qui illustre un scénario qu’elles et ils ont formulé. Demandez-leur ensuite d’échanger leurs représentations, de faire une description du scénario et de créer une représentation différente de celui-ci.
C3.3
comparer, graphiquement et algébriquement, des paires de relations de la forme y = ax + b, et interpréter la signification du point d’intersection en lien avec son contexte.
- comparer graphiquement :
- créer un graphique pour comparer la distance en kilomètres et le temps en heures :
- comparer les taux de variation, les valeurs initiales et les points d’intersection.
- comparer algébriquement :
- comparer les taux de variation et les valeurs initiales en examinant les équations;
- utiliser la méthode de comparaison pour comparer la relation A : d = 8t + 2 à la relation B : d = 12t en établissant une égalité entre les deux relations et en résolvant les variables pour trouver le point d’intersection.
Les enseignantes et enseignants peuvent :
- séquencer l’apprentissage pour commencer par deux relations qui permettent aux élèves de déterminer avec précision le point d’intersection sur un graphique et passer à des relations qui nécessitent une méthode algébrique de comparaison afin de déterminer avec précision le point d’intersection;
- faciliter des discussions sur les avantages et les limites de la comparaison graphique des relations par rapport à leur comparaison algébrique;
- appuyer les élèves à interpréter le point d’intersection dans le contexte du problème en soulignant qu’il s’agit du point qui satisfait aux deux équations et où, pour une valeur indépendante spécifique, les deux relations ont la même valeur dépendante;
- offrir aux élèves des occasions d’utiliser des outils numériques ou le codage pour comparer des relations linéaires;
- appuyer les élèves à établir des liens entre la méthode algébrique de comparaison qu’elles et ils apprennent maintenant et les stratégies qu’elles et ils ont apprises pour résoudre des équations avec des variables des deux côtés en 8e année.
Remarque :
L’utilisation de la méthode algébrique ne concerne que la méthode de comparaison, et ne s’étend pas à l’élimination, à la substitution ou à d’autres approches de résolution de systèmes linéaires.
- Quelles sont les ressemblances et les différences dans ces relations linéaires?
- Que signifie le point d’intersection dans cette situation (le cas échéant)?
- Comparez les taux de variation de ces relations.
- En pensant au contexte de cette situation, décrivez ce qui se passe à gauche et à droite du point d’intersection dans ce graphique (le cas échéant).
- Énumérez les points forts et les points faibles de la méthode graphique et de la méthode algébrique de comparaison des relations.
- Deux relations linéaires auront-elles toujours un point d’intersection? Quels sont les cas dans lesquels elles ne se croisent pas?
Demandez aux élèves de comparer deux relations linéaires différentes et de déterminer quand elles sont égales (leur point d’intersection, le cas échéant) et quand l’une est supérieure à l’autre. Parmi les contextes possibles : les pages lues d’un livre, les revenus d’un emploi, les forfaits de téléphonie cellulaire, la distance parcourue et les abonnements à un centre de conditionnement physique.
Par exemple : Un vendeur a deux options différentes pour être payé. Les options sont indiquées sur le graphique ci-après. Que doit-il prendre en compte pour choisir la meilleure option pour lui? Quelles sont les différences entre les deux options? Dans quelles conditions chaque option serait-elle meilleure?
- Option A : un salaire mensuel de 400 $ plus une commission de 5 % sur le total des ventes mensuelles.
- Option B : Aucun salaire mensuel fixe; une commission de 10 % sur le total des ventes mensuelles.
Demandez aux élèves de comparer les relations pour lesquelles une solution algébrique pourrait permettre une plus grande précision. Par exemple : Lors d’une course automobile professionnelle, deux pilotes se disputent la première place. La pilote A, actuellement en première place, a 15 secondes d’avance sur le pilote B, en deuxième place, mais ce dernier a pris de la vitesse. Les équations suivantes peuvent être utilisées pour représenter le temps, t, en minutes, pendant lequel ils ont conduit depuis que le pilote B a pris de la vitesse, en fonction de n, le nombre de tours.
- Pilote A : t = 1,4n
- Pilote B : t = 1,3n + 0,25
À quel moment le pilote B rattrapera-t-il la pilote A? S’il reste cinq tours dans la course, est-il possible que le conducteur B gagne?
